De todos modos, en el conjunto de números naturales, así como la suma es sucesión repetida (ver Axiomas de Peano) y la multiplicación es suma repetida, así la exponenciación es multiplicación repetida. Para todas [matemáticas] n \ en N [/ matemáticas], tenemos:
[matemáticas] n ^ 2 = n \ veces n [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ 3 = n ^ 2 \ veces n = n \ veces n \ veces n [/ matemáticas]
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[matemáticas] n ^ 4 = n ^ 3 \ veces n = n \ veces n \ veces n \ veces n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
[matemáticas] n ^ {m + 1} = n ^ m \ veces n \ espacio \ espacio [/ matemáticas] (para [matemáticas] m \ gt 1 [/ matemáticas])
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
Ahora, hay infinitas funciones de exponenciación en todas las [matemáticas] N [/ matemáticas] que satisfacen:
- Para todas [matemáticas] n \ en N [/ matemáticas]: [matemáticas] n ^ 2 = n \ veces n [/ matemáticas]
- Para todas [matemáticas] n, m \ en N: n ^ {m + 1} = n ^ m \ veces n [/ matemáticas]
Todas estas funciones, sin embargo, concuerdan en el valor numérico de [matemática] n ^ m [/ matemática] para todas [matemática] n, m \ en N [/ matemática], excepto para [matemática] n = m = 0 [/ matemáticas]. Resulta que cualquier valor funcionará para [matemáticas] 0 ^ 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, puede optar por dejarlo sin definir (como le enseñaron en la escuela), o simplemente puede elegir algún valor conveniente. [matemáticas] 0 ^ 0 = 1 [/ matemáticas] es popular en algunos círculos. Me han dicho que [matemáticas] 0 ^ 0 = 0 [/ matemáticas] es popular en otros. Ambos tienen ciertas propiedades convenientes.
