¿Por qué 9/9 no es igual a 0.999999 …?

Primer día en Quora, y por suerte tengo uno que sé.
(de hecho, pienso en este problema cuando estaba en la escuela secundaria)
punto 1: prueba fácil
0.9… * 10 = 9 + 0.9…
sin embargo
x * 10 = 9 + x solo tiene una solución 1. por lo tanto 0.9 … es 1.

otro resultado similar es que

0.abcd… = abcd / 9999 con abcd representa el periódico. La parte periódica podría ser de cualquier longitud, siempre que 99 … 9 sea de la misma longitud.
La prueba es muy similar (multiplica 10 ^ (longitud del periódico)).

punto 2: otro pensamiento

Debes pensar en el límite para entender cómo se mantiene.
0.9
0,99
0,999
…
1)
Esta secuencia converge a 1.

punto 3: un poco más profundo
Organice el en una secuencia de intervalo cerrado .
[0.9, 1]
[0.99,1]
…
finalmente atrapará solo un número real que es 1. (Cantor, Wierestrass)

Sugiero que Quora nos permita usar la expresión LaTeX. Mathjax es un render adecuado.

En realidad lo hace. Es igual a uno. También es igual a 0.99999999 …

Echa un vistazo a esta prueba de que 0.99999999 … es igual a uno y lo entenderás (con suerte).

Se debe al hecho de los límites a medida que los dígitos de un número se acercan al infinito. Claro, en tu mente, puedes decir “0.999999999 … siempre es diferente de 1. “Y eso siempre es cierto, para un número finito de dígitos, pero la parte” … “significa que esto continúa para siempre . Cada vez que agrega otro dígito, se acerca un poco a 1. Recuerde, en una función con un límite, la función “técnicamente” nunca alcanzará su límite, pero en realidad, si pudiéramos llegar hasta el “infinito” De hecho, llegaríamos al límite. Por eso es un límite. Es difícil de entender, lo sé. Los humanos siempre han sido malos en el infinito. Piénselo de esta manera: una vez que se acerca tanto a un número, ¿realmente puede decir que hay una diferencia?

La mía no es una respuesta a la pregunta, sino solo una anécdota.

Solíamos jugar con esta pregunta usando una calculadora científica.

Inicialmente, no les muestres a tus amigos lo que estás haciendo con tu calculadora. Presione [1] [÷] [9] [=]. La pantalla muestra 0.111111111111. A continuación, almacene este resultado en la memoria [A].

Entonces llama a tus amigos. Muéstreles que [A] = 0.111111111111. Pregunta a tus amigos a qué equivale 2A? Dicen, 0.2222222222222. Opere [2] [ALFA] [A] [=] y muestre que su calculadora está bien. Ahora continúe preguntando y mostrando que su calculadora está bien multiplicando sucesivamente A por 3, 4, 5 … 8.

Por último, pregúntales: ¿qué crees que muestra mi calculadora si multiplico A por 9 si mi calculadora no está defectuosa ?

Esperarían 0.999999999999. ¡Y usted ‘prueba’ que su calculadora está defectuosa mostrando 9A = 1!

“No prestaré mi calculadora defectuosa a mi mejor amigo”, declaras, para decir suavemente que no se la prestarás a nadie 😉

Okay.

El enfoque fraccional:

1. Tienes un juego de gafas [matemáticas] 9 [/ matemáticas].
2. Te sientes realmente vengativo hacia ellos.
3. Levantas uno y lo arrojas contra la pared y sonríes mientras se rompe en pedazos pequeños.
4. Ahora has roto [matemáticas] 1/9 [/ matemáticas] de las gafas que tenías.
5. Continúas rompiendo 7 vasos más.
6. Ahora ha roto [matemática] 8/9 [/ matemática] de las gafas que tenía.
7. Levantas el último vaso, le sonríes maliciosamente y lo arrojas contra la pared. Se rompe en pedazos pequeños. Se cepilla las manos y asiente satisfecho.
8. ¡Has roto [matemáticas] 9/9 [/ matemáticas] de las gafas que tenías!

Entonces, [matemáticas] 9 / 9ths = 1 [/ matemáticas] (el conjunto de gafas)

El enfoque matemático:

1. Tienes un juego de gafas [matemáticas] 9 [/ matemáticas].
2. Te sientes realmente vengativo hacia ellos.
3. Recoges un tercio de ellos (3) y lo arrojas contra la pared y sonríes mientras se rompe en pedazos pequeños.
4. Acaba de destruir [matemáticas] 33.33333333333 …% [/ matemáticas] de las gafas que tenía.
5. Recoges el siguiente tercio de ellos (3) y lo arrojas contra la pared y sonríes mientras se rompe en pedazos pequeños.
6. Acaba de destruir [matemáticas] 66.6666666666…% [/ matemáticas] de las gafas que tenía.

   porque:
   [matemáticas] 33.333333333… .. + 33.333333333… .. = 66.666666666…% [/ matemáticas]

7. Recoges el siguiente tercio de ellos (3) y lo arrojas contra la pared y sonríes mientras se rompe en pedazos pequeños.
8. Acaba de destruir [matemáticas] 99.999999999…% [/ matemáticas] de las gafas que tenía.

   porque:
   [matemáticas] 66.666666666… .. + 33.333333333… .. = 99.999999999…% [/ matemáticas]

9. Te preguntas … espera-un-hod-dawd-minuto … ¿dónde está ese [matemático] 0.0000 …… 00001% [/ matemático] desaparecido?

Conciliar la diferencia:

Hay un artículo de Wikipedia sobre 0.999 …, y también fue respondido en el foro de matemáticas en 1996.

El problema aquí es la diferencia causada entre la conversión entre decimales y fracciones.

Los números decimales son en realidad una representación abreviada de sumas parciales.

[matemáticas] S = 0.99999… [/ matemáticas]

Cada dígito de la representación decimal se puede expresar como los términos en la expansión:

[matemáticas] S = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/10000 + 9/100000… [/ matemáticas]

Esto se puede escribir como:

[matemáticas] S = 9 (1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + 1/100000…) [/ matemáticas]

Observe dónde está el paréntesis de cierre en lo anterior:

Podríamos intentar simplificar los términos anteriores:

[matemáticas] S = 9 (1 / (10 ^ 1) + 1 / (10 ^ 2) + 1 / (10 ^ 3) + 1 / (10 ^ 4) + 1 / (10 ^ 5) …) [/ matemáticas]

Vamos a definir F como:

[matemáticas] F = (1 / (10 ^ 1) + 1 / (10 ^ 2) + 1 / (10 ^ 3) + 1 / (10 ^ 4) + 1 / (10 ^ 5) …) [/ matemáticas ]

o más elegantemente pienso:

[matemáticas] F = ((1/10) ^ 1 + (1/10) ^ 2 + (1/10) ^ 3 + (1/10) ^ 4 + (1/10) ^ 5…) [/ matemáticas ]

Entonces podemos decir que el enésimo término en la suma se puede representar como:

[matemáticas] fn = (1/10) ^ n [/ matemáticas]

Luego podemos examinar físicamente cómo se suman los primeros n términos parciales y a qué número llegan. Hay muchos artículos sobre series convergentes y pruebas de convergencia que se pueden ver.

Conclusión:

Dependiendo del punto de vista y el propósito, una de las siguientes afirmaciones puede ser cierta:

[matemáticas] 9/9 = 0.9999 … [/ matemáticas]

[matemáticas] 9/9 = 1 [/ matemáticas]

Esto es interesante. Me hicieron esta pregunta en una de mis entrevistas.
si 0.99999 … (recurrente) = x
entonces 9.99999 … (recurrente) = 10 * x
entonces 9 = 9 * x
yx = 1
cual es la culpa

No sabía esto anteriormente y me di cuenta solo en ese momento y me sentí agradable de responder correctamente.

Su pregunta se basa en el mismo concepto.
La recurrencia es algo bastante interesante.
Un argumento básico es que, para que dos números sean diferentes, debe existir al menos un número real entre ellos, y uno puede ver fácilmente que no existe un número real entre 0.9999 … (recurrente) y 1. Y ambos números reales son en realidad iguales .
0.999999 … (recurrente) NO es aproximadamente pero exactamente igual a 1.

Por lo tanto, en su pregunta no se pierde nada y 9.9999 … (recurrente) = 10
Por lo tanto, en realidad no hay culpa en la prueba.

Bueno, es confuso para mucha gente, pero los intentos de probar no pueden convencer a una persona recatada … No se trata de pruebas, se trata de lo que asumen diferentes personas, manipulando con símbolos. Están bien con los símbolos, dicen, ¡pero todavía estamos confundidos! De hecho, si usa símbolos “especialmente definidos”, ¡no hay ningún problema!

No use palabras como “de hecho”, “pero en realidad, si pudiéramos llegar hasta el” infinito “, de hecho, llegaríamos al límite”.… ¡Todo es MUCHO MÁS SENCILLO!

Puede ser algo confuso, si sabemos:

0.9 <1.

0,99 <1.

0.999 <1.

Entonces, ¿por qué 0. (9) = 1., pero no 0. (9) <1. todavía?

¿Por qué no es un número diferente, distinguible, menor que 1., pero un poco “lefter”?

Debido a que esta notación supone la aplicación del operador “lim”, y converge a 1.

¿Por qué 9/9 no es igual a 0.999999 …?

… Una reacción del siglo XIX contra tales métodos de suma liberal dio como resultado la definición que aún domina hoy: la suma de una serie se define como el límite de la secuencia de sus sumas parciales.

Esta es una convención, definición matemática que 0. (9) se define usando el operador de límite . Puede ser que podría detener la “discusión”, pero! En:

Límite de una secuencia – Wikipedia

¿Ves “Delta” arriba igual? Este es el símbolo “Igual por definición”. Sí, en este caso es “por definición”. NO NECESITA PROBAR, porque esto es por definición!

Entonces, si considera todas las pruebas alucinantes, podría suponer “delta igual” en lugar de “común igual”. Todas estas “pruebas” son solo intentos de sustituir algo que es “por definición”, alguna convención matemática moderna. El concepto de número es una cosa convencional, cambia de vez en cuando. Hoy domina la definición que se podía ver arriba, en el siglo XVIII no estaba claro y no era una convención dominante.

Entonces,

0. (9) o 0.9 con el punto anterior, ya es una notación reservada para denotar “1.”

Lo mismo es para 0.99999 … = 1. notación.

¡Objeción!

Pero al mismo tiempo, cualquiera podría imaginar un número distinguible “izquierda” o “derecha” de 1., introduzca alguna notación para representarlo. En

Infinitesimal – Wikipedia

tales números se introducen:

donde “0.999 …” difiere de su significado estándar como el número real 1 , y se reinterpreta como un decimal extendido con terminación infinita que es estrictamente menor que 1

¡Bien! ¡¡¡Vemos, que al lado del “significado estándar” hay un ” decimal extendido de terminación infinita que es estrictamente menor que 1 ” !!! ¡Hurra, si uno pudiera imaginarlo, también podría encontrar una definición convencional para tales números!

Ahora, al menos, entiendo esto, espero que otras personas vean que usando 0. (3) denotamos estrictamente 1/3, no fracción decimal hipotética, que existe, y corresponde a un decimal extendido de terminación infinita que es estrictamente menor que 1 / 3) Un tipo de número que las personas imaginan cuando ven decimales repetidos.

Sí, existe, podría escribirse usando 0.3333 … pero, dado que no tiene un uso práctico, no existe un método convencional simple para representarlo. (¿O alguien podría sugerir una referencia?)

En realidad, 9/9 es igual a 0.999999 …

La elipsis al final es la clave. Para ver por qué, comencemos con el RHS y llamémoslo x:

Deje RHS = x = 0.999999 …

[matemáticas] => 10x = 9.99999 … [/ matemáticas]

[matemáticas] => 10x = 9 + 0.99999… [/ matemáticas]

[matemáticas] => 10x = 9 + x [/ matemáticas] (por definición de x)

[matemáticas] => [/ matemáticas] [matemáticas] 9x = 9 [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] x = 9/9 = LHS [/ matemáticas]

Entonces, ahora hemos visto que x = 0.9999 … = 9/9.

Otros ya han respondido muy bien la pregunta. Tengo un razonamiento más que es muy simple.

Supongamos que 0.999 … y 1 sean dos números racionales distintos (0.999 … es recurrente, por lo que es racional). Recuerde que su escuela primaria aprendió que entre dos números racionales distintos existen números racionales infinitos. Claramente, no puede encontrar ningún decimal recurrente entre 0.9999 … y 1. Entonces, llegamos a una contradicción que surge solo debido a nuestra suposición.

Entonces, 0.9999 … es exactamente igual a 1.

¡Espero que lo encuentres útil!

La relación [matemática] \ frac {9} {9} [/ matemática] es de hecho igual a [matemática] 0. \ dot {9} [/ matemática], porque [matemática] 0. \ dot {9} = 1 [ /matemáticas]. Existen innumerables maneras de probar esta última igualdad de manera rigurosa, pero todo se reduce a un hecho muy importante: hay más de una forma de representar el mismo número. Si acepta todas las reglas “normales” de la aritmética, y eso [matemática] \ frac {x} {x} = 1 [/ matemática] para todas [matemática] x \ ne0 [/ matemática] (y allí ya tiene incontables muchas formas diferentes de escribir [matemáticas] 1 [/ matemáticas]), luego [matemáticas] 0. \ dot {9} [/ matemáticas] es solo una representación más de la identidad multiplicativa [matemáticas] 1 [/ matemáticas].

Para cualquier base entera [math] b \ ge2 [/ math], el [math] b [/ math] -ary número [math] 0. (b-1) (b-1) (b-1) \ dots [ / math] es igual a [math] 1 [/ math].

9/9 equivale a 0.9999999 …, o [matemática] 0. \ overline {9}. [/ Matemática]

Pero entonces, ¿por qué todos dicen que 9/9 es igual a 1? Porque también lo hace.

De hecho, [matemáticas] 0. \ overline {9} = 1 [/ matemáticas]. ¿Pero por qué?

Método matemático

Deje [math] x = 0.9999 … = 0. \ overline {9} [/ math].

Entonces [matemáticas] 10x = 9.9999 … = 9. \ overline {9} [/ matemáticas].

[matemática] 10x – x = 9x = 9. \ overline {9} – 0. \ overline {9} = 9 [/ math].

Como [matemática] 9x = 9 [/ matemática], entonces [matemática] x = 1 [/ matemática], mostrando que [matemática] 0.9999… = 0. \ overline {9} = 1 [/ matemática].

Método de intuición (+ prueba por contradicción)

Usted sabe que 0.99 no es igual a 1. Lo mismo para 0.9999. Puedes continuar y poner tantos 9 como quieras, siempre podré encontrar un número ([matemática] 0. \ overline {9} [/ matemática]) que esté “más cerca” de 1 que el que me diste . Pero entonces, ¿no es [matemática] 0. \ overline {9} [/ matemática] solo el mayor número menor que uno, pero no es igual? Veamos. Para encontrar un número menor que 1, debe restarle un número, por lo que el número mayor menor que 1 debe ser algo así como [matemática] 1-x [/ matemática] (con [matemática] x> 0 [/ matemática ]). Y sabemos que esto [matemática] x [/ matemática] debería ser algo en este formulario: 0.000… 0001. Pero al hacer eso, demostró que hay un número finito de 0, porque debe poner el 1 al final. Por lo tanto, si hay un número finito de 0 en [matemáticas] x [/ matemáticas] (llamemos a este número finito [matemáticas] n [/ matemáticas]), significa que el número más grande menor que 1 tiene [matemáticas] n + 1 [/ math] 9s en él. Entonces, puedo encontrar un número mayor que el que tiene [matemáticas] n + 1 [/ matemáticas] 9s que todavía es menor que 1 al poner [matemáticas] n + 2 [/ matemáticas] 9s, lo que lleva a una contradicción porque dije que era el número más grande menor que 1 (puede establecer [math] n [/ math] en cualquier número, [math] 0. \ overline {9} [/ math] siempre será mayor). Por lo tanto, [matemática] 0. \ overline {9} [/ matemática] siempre será mayor que el número más grande menor que 1, lo que significa que [matemática] 0.9999… = 0. \ overline {9} [/ matemática] tiene que ser igual a 1.

Espero que te aclare las cosas 🙂

En realidad, es de hecho igual a [matemática] 0.999 \ puntos [/ matemática]

Deje que [matemática] x = 0.999 \ puntos [/ matemática]

Entonces [matemáticas] 10x = 9.999 \ puntos = 9 + 0.999 \ puntos = 9 + x [/ matemáticas].

Por lo tanto [matemáticas] 9x = 9. [/ Matemáticas]

O, [matemáticas] \ frac {9} {9} = x = 0.999 \ puntos \. [/ Matemáticas]

😉

Esto tiene que ver con la propiedad métrica del número real. Una forma de definir un número real es como el límite de una secuencia de números con representación decimal finita. Por ejemplo, 1 es el límite de (1.01, 1.002, 1.0003, 1.00004, 1.000003, ..). También podría ser el límite de (1,100, 12, 1,1,1,1,1, ..). Claramente, hay infinitas maneras de construir tal secuencia. Sucede que 1.000000 … denota una de esas formas, y 0.999999 … de otra manera. Ahora los números reales son clases de equivalencia de tales secuencias infinitas, donde decimos que dos secuencias son equivalentes si las diferencias de sus elementos correspondientes convergen a 0. Entonces, después de todo, los números reales no son tan reales. Es por eso que dicen que Dios creó los números naturales, y el resto es vudú. Ah, por cierto, no puedes escribir 0 ambiguamente como el caso con 1.

Lo hace, porque [matemáticas] 0.99999 … = 1 [/ matemáticas].

No es “casi” 1, es 1. ¿Prueba?

Decir [matemáticas] x = 0.9999 … [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 10 * x = 9.9999 … = 9 + x [/ matemáticas]

Si [matemáticas] 10 * x = 9 + x [/ matemáticas] entonces [matemáticas] 9 * x = 9 [/ matemáticas], por lo tanto, [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].

La respuesta es ambas. 9/9 = 1 = 0.999….
Cualquier número que tenga un decimal periódico es racional y puede expresarse como una razón de dos enteros.
Por ejemplo, un número S = 0.1212 … entonces, 100 S = 12.1212 … = 12 + S. Por lo tanto, 99 S = 12 y S = 12/99 = 4/33.
Para su ejemplo, los números de la forma U = 0.aaa …, donde a es un dígito de 0 a 9, tenemos 10 U = a.aaa … = a + U. Y, 9 U = a, entonces, U = a / 9.

0,000 … = 0/9 = 0,
0.111 … = 1/9,
0.222 … = 2/9,
0.333… = 3/9 = 1/3, etc.
y
0.999… = 9/9 = 1
Entonces, 9/9 es igual a 0.999 … y 1, ya que son el mismo valor.

[matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] 0.999999 \ cdots [/ matemática] son ​​dos representaciones del mismo número. Esto se puede probar rigurosamente por la suma de series geométricas.

Más ejemplos de este tipo como,
[matemáticas] 0.2 = 0.1999999 \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] 0.35 = 0.34999999 \ cdots [/ matemáticas]

Otra forma de resolver su pregunta es examinando lo que cree. Si crees que [math] \ frac {1} {9} = 0.111111 \ cdots [/ math], entonces ¿por qué? Porque crees en la división larga, ¿verdad? Más precisamente,

[matemáticas] \ frac {1} {9} = \ frac {1.0} {9} = 0.1 + \ frac {0.1} {9} = 0.1 + \ frac {0.10} {9} = 0.1 + 0.01 + \ frac { 0.01} {9} [/ math], puede expandirse de la misma manera para siempre.

Ciertamente puedes decir [math] \ frac {9} {9} = 1 [/ math]. Pero

[matemáticas] \ frac {9} {9} = \ frac {9.0} {9} = 0.9 + \ frac {0.9} {9} = 0.9 + \ frac {0.90} {9} = 0.9 + 0.09 + \ frac { 0.09} {9} [/ math], puede expandirse de la misma manera para siempre.

Bueno, si sigues esa ‘lógica’:

9/9 es lo mismo que 1/1 y 100/100 y 1000/1000 y 10000/10000

1/1 es 1

100/100 es 1

1000/1000 es 1

10000/10000 es 1

Entonces 9/9 es 1

El hecho de que 1/9 sea 0.11 … no cambia nada, porque están simplificados; no son precisamente 0.11 .. y 0.22 y así sucesivamente. Los humanos no pueden “observar” el infinito, o realmente entenderlo, y estos son infinitos.

Según esa lógica (!) Nada sería verdadero y nada sería falso.

Por cierto; ¿En serio?

Es posible que no lo haya entendido, dada su pregunta; así que pongámoslo así:

Tienes nueve os

OOOOOOOOO

Empareje esos 9 Os con estos nueve Is, para que cada yo obtenga la misma cantidad de Os

IIIIIIIII

IO IO IO IO IO IO IO IO IO

Cada yo recibe exactamente ‘1’ O; 9/9 es 1! Hurra.

El conjunto de todos los números reales es continuo. Esto significa que no hay “pasos” entre los valores del conjunto. Si toma todos los números enteros {0, 1, 2, 3, 4, …} puede ver fácilmente que el conjunto es discreto; los valores saltan de 1 a 2 a 3 y así sucesivamente en lugar de fluir de 1.00000 … a 1.10000 … a 1.2000 … a 1.99999 … a 2.

Esta continuidad es la razón por la cual siempre existe un valor real entre otros dos valores reales. Por ejemplo, .99999995 está entre .9999999 y 1, al igual que .99999991, .99999992, y así sucesivamente.

Entonces vemos una paradoja. Sabemos que después de .9999 … viene 1.000 … ya que en algún punto de la línea, todos los nueves cambian a 1. Pero como el conjunto es continuo, deben existir valores a lo largo del continuo entre .9999 … .. y 1, lo que significa que nunca tendrá suficientes nueves en el .9999 … para llegar realmente a 1.

Es una pregunta filosófica interesante, pero al final, podemos confiar en nuestras definiciones aritméticas básicas. Por ejemplo, definimos el factor de identidad multiplicativo como 1 y el factor de identidad aditivo como 0. De la misma manera, podemos definir 1 como el resultado cuando el numerador es igual al denominador en un cociente.

Por lo tanto, nuestra definición de 1 (o 9/9) es concreta, a pesar de que la naturaleza continua del conjunto de números reales hace que 9/9 parezca bastante abstracto.

Si lo piensas, después del 4/9 redondearías hacia ARRIBA para expresar el número irracional sin una barra sobre él o puntos suspensivos como lo expresaste. Una calculadora con un número finito de lugares le dirá

5/9 = 0.5555555555555556

6/9 = 0.6666666666666667

7/9 = 0.7777777777777778

8/9 = 0.8888888888888889

Por lo tanto, para 9/9 si el patrón se mantiene, la respuesta se “redondeará” hasta 10, convirtiendo cada 9 anterior de la serie en 10 como el 1 se sumaría, y terminará con 1.000000000. Pero además de eso, 9/9 no es irracional en la base 10 como lo son todas las otras expresiones. Realmente es igual a 1. En la base nueve, sería diferente, con todos los problemas expresados ​​como .1, .2, .3, .4, .5. .6, .7, .8, pero 9/9 (10/10) seguiría siendo 1.

Pruebe esto con Base Converter: (jalu.ch/coding/base_converter.php)

Convertidor Base

Convertir un número de una base a otra

Resultado

Número en la base 9:

0.8

Número en la base 10:

0.888888888

9/9 es igual a 0.999999 …, ya que 0.999999 … es 1.

Vea la respuesta de Ted Alper a ¿Por qué es [matemáticas] 0.999 \ ldots [/ matemáticas] igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]? para obtener detalles sobre por qué 9/9 es igual a 1 y 0.999999 …