¿Qué es una explicación intuitiva de una proyección?

Basado en la etiqueta “Álgebra lineal”, tengo dos conjeturas sobre lo que quieres decir con “proyección”.

Adivina 1: Te refieres a la proyección ortogonal de un vector sobre otro vector.

Imagine un carro en una pista que va en línea recta. (Imagine también que el carro puede ir en cualquier dirección). Si [math] b [/ math] es un vector que apunta en la dirección de esta pista y [math] a [/ math] es un vector que representa una fuerza que aplica al carro (en cualquier dirección), entonces la proyección de [matemáticas] a [/ matemáticas] en b es la parte de esa fuerza que determinará la aceleración del carro a lo largo de la pista.

El resto de la fuerza es ortogonal a la pista, y no contribuirá a ese movimiento. (Puede volcar el carrito, pero eso es un problema separado).

Adivina 2: Te refieres a la idea general de una proyección, una transformación lineal idempotente de un espacio vectorial a sí mismo.

Si piensa en lo que normalmente llamaríamos una “proyección” de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] a uno de sus subespacios, cada punto se identifica con una línea particular que lo atraviesa y se cruza con el objetivo subespacio en alguna parte, y asignamos el punto a ese punto de intersección. Claramente, los puntos de este subespacio deben asignarse a sí mismos. Por lo tanto, tiene sentido que la aplicación de la proyección por segunda vez no cambie el resultado. Entonces, estas proyecciones son idempotentes.

Piense en ello como un colapso (de una especie), como enviar (x, y, z) a (x, y). Toma espacio en 3D y lo aplana en un plano (o aplana un plano en una línea, como enviar (x, y) a (x), o aplana su espacio en 3D dos veces, etc.). Las reglas exactas dependen de su aplicación, pero esencialmente lo que está haciendo es tomar algo de espacio y colocarlo en un espacio de menor dimensión, perdiendo algunos datos en el proceso.

Otro ejemplo sería dibujar en 3-d en una pizarra: esencialmente está tomando un espacio en 3-d y “aplanándolo” en la pizarra a lo largo de una línea de visión. Una forma de saberlo es que las líneas que no se intersectaban antes en el espacio tridimensional ahora sí lo hacen (o que su espacio se reduce en dimensión de 3-d a 2-d).

Es como proyectar una sombra. Al menos para una proyección de puntos 3D en un subespacio 2D.