Así que descargo de responsabilidad, nunca antes había oído hablar de este teorema, y solo hice un rápido vistazo a Wikipedia, que parece tener una buena explicación, pero quizás un poco técnico.
Entonces, lo primero que debemos observar es un conjunto parcialmente ordenado. Esto significa que algunos, pero no todos los elementos pueden compararse entre sí mediante algún tipo de operación. Por simplicidad, hablemos de los enteros, pero estos serán los enteros especiales, donde a <b <c <d … pero no hay forma de ordenar 1 o a. Ninguno de los dos es más grande que el otro y no son iguales. Piense en los números complejos (sin multiplicación) donde i y 1 no son más grandes o más pequeños que el otro.
Lo siguiente de lo que tenemos que hablar son estas cadenas y antichains. Entonces, un antichain es un subconjunto de S (nuestros enteros especiales), donde ninguno de los elementos se puede comparar. Entonces, si tienes 1 en una antichain, no puedes tener 5 o 6 o 2 o -1 ni nada de eso. Si tienes g en el antichain, entonces no puedes tener a o b o f o cualquier otra cosa que sea una letra. Así que hay infinitas antichains en este caso porque tenemos {1, a}, {2, a}, … y cada uno va a ser del orden 2 porque hay dos conjuntos distintos que están bien ordenados formando nuestros enteros especiales .
Una cadena es donde cada par es comparable. Entonces {a, b, 1} no es una cadena bc a y 1 no son comparables. (He hecho que los enteros especiales sean particularmente “agradables” para trabajar, haciéndolos pobres para este ejemplo. Sin embargo, si hiciste tus enteros especiales más feos, como permitir que algunas letras se comparen con algunos números y algunos números y letras no comparables entre sí, estas cadenas serían más grandes y tendrían más estructura). En este caso, cada subconjunto de los números enteros y cada subconjunto de las letras forma una cadena.
El teorema dice que hay una antichain máxima A, podemos dividir el conjunto en varias cadenas para que el número de familias sea igual al tamaño de A. Aquí es donde estoy un poco dudoso en la notación porque no había leído el teorema anterior, pero a fin de cuentas es que dividimos el conjunto S en las diferentes formas en que se puede ordenar (los enteros van en una pila y las letras van en la otra), entonces solo hay dos formas de hacerlo eso. Todas las cadenas son soley lettesr o soley números, por lo que hay dos familias. Por lo tanto, el antichain debe ser de longitud dos.
El antichain solo puede tener una cosa para cada familia porque si tuviera dos cosas para una familia dada, entonces esas dos cosas podrían estar en una cadena (todo de una familia se puede comparar con otra cosa en la familia) y estar en un antichain juntos dos cosas no se pueden comparar. Por lo tanto, el tamaño máximo de un antichain es el número de piezas del conjunto después de la separación por familia.
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Me alegro de haberlo visto. Aprendí algo nuevo.
