Lo primero que debe hacer es considerar el polinomio de enésimo grado
[matemáticas] P_n (x) = \ frac {x (x-1) * (x-2) \ cdots (x- (n-1))} {n!} [/ matemáticas]
(¡esto puede recordarle un coeficiente binomial!) Es conveniente, y correcto, definir también [matemáticas] P_0 (x) = 1 [/ matemáticas]
[matemática] P_n (x) = 0 [/ matemática] para x = 0,1,2,3,…, n-1 y [matemática] P_n (n) = 1 [/ matemática]. Entonces, la variedad de diferencias finitas para este polinomio tiene como fila superior
0 0 0 0… 0 1 (n ceros, seguido de 1 1)
y la fila de abajo que tiene n-1 ceros seguidos de un 1,
y así …
la diagonal que obtienes al tomar el primer elemento de cada fila (comenzando desde la parte superior y trabajando hacia abajo) también es n ceros seguidos de un 1.
entonces (en reversa), si comienzas con una diagonal de n ceros seguida de un 1, el polinomio que representa es [matemática] P_n (x) [/ matemática]
La otra cosa a notar es que si comienzas con cualquiera de estas dos secuencias de
números (con las filas de diferencias debajo de ellos) y agregue los términos correspondientes juntos, las filas de diferencias TAMBIÉN se agregan término por término. Y si multiplica cada término de dicha secuencia por el mismo número real, todas las filas de diferencias se multiplican por el mismo número. Entonces, si usamos, su ejemplo original de una secuencia: -3 2 -13 -72
y multipliqué cada término por -4 para obtener: 12, -8, 52, 288
las filas resultantes de diferencias sucesivas
12 -8 52 288
-20 60 236
80 176
96
son solo -4 veces las que comenzaste
Y, si tomo una secuencia diferente, como 1, 4, 9, 16 que tiene diferencias
1 4 9 16
3 5 7
2 2
0 0
y agréguelo a su secuencia original -3, 2, -13, -72
término por término para obtener
-2, 6, -4 -56
las filas de diferencias resultantes son solo las sumas de los términos correspondientes en cada fila de las dos matrices de diferencias separadas.
-2 6 -4 -56
8-10-52 (estos términos provienen de la suma de términos en -5, 15, -13 y 3,5,7)
-18-42 (suma de los términos correspondientes de -20, -44 y 2 2)
-24 (-24 + 0)
Pon todo esto junto: cualquier secuencia donde la diagonal más a la izquierda es
todos los 0s excepto el enésimo término es el número [math] a_n [/ math] debe representar el polinomio de enésimo grado [math] a_n P_n (x) [/ math]
y cualquier secuencia donde la diagonal más a la izquierda (de arriba hacia abajo) son los números [math] a_0, a_1, a_2, \ ldots, a_n [/ math] debe representar el polinomio de enésimo grado
[matemáticas] a_0 P_0 (x) + a_1 P_1 (x) + \ ldots + a_n P_n (x) [/ matemáticas]
En realidad, esto va un poco más allá de lo que mencionó, ya que le brinda una forma de conocer inmediatamente el polinomio algebraicamente. Entonces, por ejemplo, tu secuencia
-3 2 -13 -72 tiene esa diagonal más a la izquierda de -3, 5, -20, -24 por lo que DEBE ser el polinomio
[matemáticas] -3 P_0 (x) + 5 P_1 (x) – 20 P_2 (x) – 24P_3 (x) [/ matemáticas]
es decir,
[matemáticas] -3 \ cdot 1 + 5 \ frac {x} {1!} – 20 \ frac {x (x-1)} {2!} – 24 \ frac {x (x-1) (x-2 )} {3!} [/ Matemáticas]
Si lo desea, puede simplificar esto, pero es suficiente tener en cuenta que ES un polinomio de tercer grado, y si conecta [matemática] x = 0 [/ matemática] obtendrá -3, si conecta [matemática ] x = 1 [/ math] obtendrá -3 + 5 = 2, si conecta [math] x = 2 [/ math] obtendrá -3 + 2 \ cdot 5 – 20 = -13 y si conecte [math] x = 3 [/ math] obtendrá -3 + 3 \ cdot 5 – 20 \ cdot 3 – 24 = -72.
