¿Qué tienen de especial las secciones cónicas? ¿Por qué tenemos que aprender eso en la escuela secundaria?

Para ser honesto, sospecho que la inclusión de secciones cónicas en el plan de estudios de la escuela secundaria podría estar un poco anticuada.

Hay algunos temas como este. Los logaritmos son extremadamente importantes, pero los logaritmos en bases distintas de [matemáticas] e [/ matemáticas] simplemente no importan de la misma manera que solían [matemáticas] {} ^ \ daga [/ matemáticas] —el tiempo fue, calculando logaritmos en realidad fue un poco difícil, y la gente usaría tablas de consulta gigantes para hacerlo. Pero esa ya no es la realidad, por lo que uno se pregunta si hay algún valor real para tener la notación [math] \ log [/ math] y [math] \ ln [/ math], con una denotando la base 10 y la otra base denotante [matemática] e [/ matemática]: nunca he visto a nadie fuera del entorno de la escuela secundaria utilizando estos dos como otra cosa que no sean anotaciones intercambiables para el logaritmo natural.

Sospecho que las secciones cónicas tampoco son tan importantes como solían ser para las aplicaciones. No me malinterpreten, es un tema hermoso si se enseña correctamente, pero la mayoría de las razones por las que un matemático moderno se preocuparía por las secciones cónicas son mucho más allá de lo que esperaría que cualquier estudiante de secundaria supiera. No es que no valga la pena, es solo que hay mucho material posible para cubrir. En cierto punto, debe hacer selecciones para algunas de las cosas más importantes. Preferiría ver a los estudiantes de secundaria aprender un poco de teoría de números elementales, álgebra lineal y algoritmos, es más probable que ese tipo de material sea útil (aunque, hay que decirlo, es significativamente más difícil de enseñar, y por eso tengo no hay esperanzas de que esto se implemente en los EE. UU. en ningún momento en el futuro cercano).

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Sin embargo, si tiene curiosidad por qué un matemático moderno se preocuparía por las secciones cónicas, abróchese el cinturón.

Las matemáticas tienen mucho interés en estudiar sistemas de ecuaciones polinómicas y, en particular, en estudiar soluciones racionales o enteras para tales sistemas. Entonces, por ejemplo, podría mirar el conjunto cero de algún polinomio:

[matemáticas] \ displaystyle -Y ^ 2 Z + X ^ 3 – 7X Z ^ 2 + 2Z ^ 2 = 0 \ etiqueta * {}. [/ matemáticas]

Cosas como esta se conocen como variedades, y aparecen en todo tipo de lugares inesperados. Por ejemplo, esta superficie que he trazado anteriormente es un ejemplo de una curva elíptica. Las curvas elípticas tienen una propiedad interesante: si tengo dos puntos en una curva elíptica que tienen soluciones racionales, es muy fácil construir un tercer punto usando esos dos que también tienen soluciones racionales. Por otro lado, dada esta salida, puede ser extremadamente difícil determinar cuáles fueron las entradas originales. (Más precisamente, el problema del logaritmo discreto es difícil). Esto tiene uso en criptografía, porque resulta que puede usar problemas asimétricos como este para crear protocolos donde es fácil de encriptar pero es básicamente imposible de descifrar a menos que usted Conoce la clave.

Por cierto, si se preguntaba dónde está la “curva” en la imagen de arriba, podría ayudar si muestro la intersección con el plano [matemático] Z = 1 [/ matemático]:

Lo que la gente suele pensar como la curva elíptica se describe en negro.

Encontrar soluciones enteras para ecuaciones polinómicas también aparece en la teoría de números. Existe el teorema clásico de Fermat de que un primo [matemático] p [/ matemático] puede escribirse como una suma de dos cuadrados si y solo si [matemático] p = 4k + 1 [/ matemático] para algún entero [matemático] k [/ math]: esta es realmente una declaración sobre los valores enteros de [math] X ^ 2 + Y ^ 2 [/ math]. Existe el teorema de Lagrange de que cualquier entero [matemático] n [/ matemático] puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados; esta es una declaración sobre los valores enteros de [matemático] W [/ matemático] [matemático] ^ 2 + X ^ 2 + Y ^ 2 + Z ^ 2 [/ matemáticas]. Existe la pregunta acerca de cuáles son los triples pitagóricos: esta es una afirmación sobre los puntos enteros de [matemáticas] X ^ 2 + Y ^ 2 = Z ^ 2 [/ matemáticas].

Veamos este último problema, en realidad, porque es un buen ejemplo. Podemos reescribir esto como

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {X} {Z} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {Y} {Z} \ right) ^ 2 = 1 \ tag * {}. [/ math]

¿Por qué es eso lindo? Como hemos dado una nueva interpretación geométrica a nuestro problema, antes buscábamos soluciones enteras para [matemáticas] X ^ 2 + Y ^ 2 = Z ^ 2 [/ matemáticas]. Ahora, estamos buscando puntos en el círculo unitario que tengan coeficientes racionales. Esto es fantástico, porque puedes usar la geometría del círculo unitario para dar un método por el cual puedes generar todos los triples pitagóricos. Describí cómo funciona esto en mi respuesta a ¿Cuál es la verdadera razón por la cual el teorema de Pitágoras puede resolverse con números racionales? ¿Por qué la ecuación x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 tiene soluciones racionales? Sin embargo, lo esencial es que existe una buena correspondencia entre los puntos racionales en el círculo y los puntos racionales en la línea.

Esto es realmente cierto para cualquier sección cónica: si hay al menos un punto en una sección cónica con coeficientes racionales, entonces hay infinitos puntos de este tipo, y puede parametrizarlos dando una correspondencia con la línea. Esta es una propiedad útil. Básicamente le dice que si está buscando clasificar las soluciones enteras para un conjunto de ecuaciones polinómicas, y de alguna manera puede reducir esto a mirar puntos en una sección cónica, ya está. Las secciones cónicas son los ejemplos más simples de curvas definidas por ecuaciones polinómicas, y son increíblemente bien entendidas, y pueden ser explotadas para estudiar álgebras de cuaterniones, empaquetamientos de esferas y muchas otras cosas.

[matemática] \ daga [/ matemática]: ¡Muy pocas personas han salido a favor de logaritmos de diferentes bases! Para ser honesto, las diversas notas que las personas han hecho y las aplicaciones que les interesan refuerzan mi creencia de que [math] \ log [/ math] realmente debería denotar el registro natural en primer lugar, y si vas a usarlo para otra cosa denotarlo por [math] \ log_b [/ math] por defecto. Por otro lado, usted ha defendido bien la relevancia continua de los cálculos logarítmicos. Yo cedo el punto.