Parece que llego un poco tarde.
Supongamos que tenemos una curva (matemática, geométricamente conectada, proyectiva) [matemática] X [/ matemática] definida sobre los números complejos. Sabemos que sus puntos complejos [matemática] X (\ mathbb {C}) [/ matemática] tienen la estructura de una superficie de Riemann (compacta y orientada también) y que las cubiertas finitas [matemática] Y (\ mathbb {C }) \ to X (\ mathbb {C}) [/ math] corresponden a morfismos de estados finitos de los esquemas [math] Y \ to X [/ math] (donde [math] Y [/ math] es suficientemente agradable).
Por definición, [math] \ pi_1 ^ {alg} [/ math] se define como el límite inverso de [math] \ text {Aut} _S (X) [/ math] sobre todas las cubiertas de Galois del punto conectado [math] p : X \ a S [/ matemáticas]. Una portada de Galois es un mapa etale finito que satisface algunas condiciones adicionales (detalles técnicos). Si dibuja el diagrama para elementos de [math] \ text {Aut} _S (X) [/ math] se verá similar al grupo de transformaciones de mazo para espacios de cobertura regulares. Si tenemos las condiciones del párrafo anterior, podemos pensar en [math] \ text {Aut} _S (X) [/ math] como el grupo de mazo. Ahora, cuando estudiamos [matemáticas] \ pi_1 ^ {alg} [/ matemáticas] estamos estudiando el límite inverso de todas [matemáticas] \ pi_1 ^ {top} (S (\ mathbb {C}), s) / q_ * \ pi_1 ^ {top} (X (\ mathbb {C}), x) [/ math] donde [math] q: X (\ mathbb {C}) \ to S (\ mathbb {C}) [/ math] es una cubierta finita (vea mi comentario aquí para la explicación de por qué puedo reescribir el grupo de mazos de esta manera). Todos los subgrupos normales de [math] \ pi_1 ^ {top} (S (\ mathbb {C}), s) [/ math] corresponden a una cubierta [math] q [/ math] de esta manera, por lo tanto, tenemos un isomorfismo [math] \ pi_1 ^ {alg} (S, s) \ cong \ hat {\ pi_1 ^ {top}} (S (\ mathbb {C}), s) [/ math] del grupo fundamental algebraico con el profinite finalización del grupo topológico. Hablando en términos generales, el grupo algebraico fundamental es, de esta manera, un pro-objeto en la homotopía.
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Curiosamente, no solo estamos interesados cuando [math] \ pi_1 ^ {alg} [/ math] no es abelian, ¡sino que estamos especialmente interesados cuando es anabeliano! La razón es que Grothendieck conjeturó que todas las curvas hiperbólicas sobre campos numéricos son variedades algebraicas cuya clase de isomorfismo está completamente determinada por su tipo de homotopía étale. Y las curvas hiperbólicas en sí mismas tienden a tener grupos fundamentales altamente nobelinos (a pesar de los usos separados de “anabeliano” para grupos y variedades, la idea general es que la cantidad de información contenida en el grupo fundamental algebraico sobre la variedad algebraica depende de cuán lejos de estar Abelian lo es hasta cierto punto). En cierto sentido, podría compararlo con la conjetura de Poincaré en topología, que dice que una [math] 3 [/ math] -manifold homotópicamente equivalente a la [math] 3 [/ math] -sphere debe ser homeomórfica a la [math] 3 [/ math] -sphere (más detalles aquí).
Ok, así que falsifiqué los números y hablé sobre un grupo fundamental profínito en lugar de uno finito. Pero ser profinito es básicamente sentirse finito aunque no lo seas, de manera similar a cómo ser pro-representable es una extensión de representabilidad.
EDITAR: Confío en que si cometí algún error, Joseph Heavner me corregirá.
