Hay infinitos tantos c.
Por la fórmula cuadrática, las raíces de [matemáticas] x ^ 2-5x + c = 0 [/ matemáticas] son
[matemáticas] x = \ frac {5 \ pm \ sqrt {25-4c}} {2} [/ matemáticas]
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Para que estas raíces sean racionales, el discriminante [matemático] 25-4c [/ matemático] debe ser un cuadrado perfecto, y para que las raíces sean enteras, el discriminante debe ser el cuadrado de un número impar. Entonces, para tener raíces enteras debemos tener
[matemáticas] 25 – 4c = (2k + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
para algún entero k, y por lo tanto
[matemáticas] c = \ frac {25- (2k + 1) ^ 2} {4} [/ matemáticas]
Como k abarca todos los enteros, no es difícil ver que el rango de c es infinito.
Otra forma de pensar en esto es recordar / notar que en un monic quadratic, el coeficiente lineal es el opuesto de la suma de las raíces y el término constante es su producto. Es decir,
[matemáticas] (x-r_1) (x-r_2) = x ^ 2 – (r_1 + r_2) x + r_1 r_2 [/ matemáticas]
Si esto va a ser igual a [matemática] x ^ 2-5x + c [/ matemática], solo necesitamos hacer [matemática] r_1 + r_2 = 5 [/ matemática]. Deje [math] r_1 = k [/ math] y [math] r_2 = 5-k [/ math] para algún entero k. Entonces [matemáticas] c = k (5-k) = 5k -k ^ 2 [/ matemáticas].
Aquí hay una tabla que enumera las raíces y los términos constantes:
Verá que la columna derecha contiene valores negativos arbitrariamente grandes.
