Desea mostrar que cierto conjunto, que llamaré cuadrado de la unidad por conveniencia, está abierto. Declaró correctamente su objetivo final: dado un punto arbitrario ( x , y ), debe producir un círculo que 1) tenga ( x , y ) en su centro, y 2) esté completamente contenido dentro del cuadrado de la unidad. Este es un buen objetivo, pero ayudaría a refinarlo aún más: adivinar qué círculo cumplirá con estos dos criterios.
Si no es obvio cómo proceder en este punto, debe detenerse y hacer un diagrama. Dibuja un cuadrado unitario, dibuja un punto en algún lugar dentro del cuadrado unitario y dibuja un círculo alrededor de tu punto que permanezca dentro del cuadrado unitario. Haz eso ahora.
OK, has dibujado el diagrama y has vuelto? Genial, ahora describe el círculo que dibujaste: está completamente a la derecha del lado izquierdo del cuadrado, a la izquierda del lado derecho del cuadrado, encima de la parte inferior del cuadrado y debajo de la parte superior del cuadrado. Además, el punto ( x , y ) es la distancia x lejos del lado izquierdo del cuadrado de la unidad, (1- x ) lejos del lado derecho, y lejos de la parte inferior y (1- y ) lejos de la parte superior . Entonces, sabes que el círculo que dibujaste tiene un radio r que es menor que el mínimo de estos cuatro números.
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Ahora que conoce las propiedades esenciales de la pelota que servirán para demostrar la apertura del cuadrado de la unidad, su objetivo se ha vuelto más preciso: dado un punto arbitrario ( x , y ) dentro del círculo unitario, y un radio r que es menor que x , y , 1- x , y 1- y , desea mostrar que el disco abierto D de radio r alrededor ( x , y ) se encuentra completamente dentro del cuadrado de la unidad. Ahora, probar que cualquier objeto se encuentra dentro del cuadrado de la unidad requiere que demuestres que el objeto se encuentra a la derecha del eje y , encima del eje x , a la izquierda de la línea x = 1, y debajo de la línea y = 1) Así que demostremos cada una de esas cuatro cosas para el disco abierto D …
Prueba de que D se encuentra a la derecha del eje y .
Usemos ( p , q ) para denotar un punto arbitrario en D , lo que significa que [math] \ mathit {dist} ((x, y), (p, q)) <r [/ math]. Necesitamos mostrar que ( p , q ) se encuentra a la derecha del eje y ; en otras palabras, que p > 0. Supongamos, con miras a la contradicción, que p <= 0 en su lugar. Entonces tendríamos dist (( x , y ), ( p , q )) = sqrt {( x – p ) ^ 2 + ( y – q ) ^ 2}> = sqrt {( x -0) ^ 2 + ( y – q ) ^ 2} = sqrt { x ^ 2 + ( y – q ) ^ 2}> = sqrt { x ^ 2} = x > r , lo que contradice la afirmación de que [math] \ mathit {dist} (( x, y), (p, q)) <r [/ matemáticas]. Por lo tanto, p > 0.
La prueba de que D se encuentra por encima del eje x es idéntica, pero con x y p cambiadas por y y q .
Prueba de que la D se encuentra a la izquierda de la línea x = 1.
Nuevamente usamos ( p , q ) para denotar un punto arbitrario en D , lo que significa que [math] \ mathit {dist} ((x, y), (p, q)) <r [/ math]. Necesitamos mostrar que ( p , q ) se encuentra a la izquierda de x = 1; en otras palabras, que p <1. Supongamos, con vistas a la contradicción, que p > = 1 en su lugar. Entonces tendríamos dist (( x , y ), ( p , q )) = sqrt {( x – p ) ^ 2 + ( y – q ) ^ 2}> = sqrt {( x -1) ^ 2 + ( y – q ) ^ 2} = sqrt {( x -1) ^ 2} = abs { x -1} = 1- x > r , lo que contradice la afirmación de que [math] \ mathit {dist} ((x, y ), (p, q)) <r [/ math]. Por lo tanto, p <1.
Y la prueba de que D se encuentra debajo de la línea y = 1 es nuevamente idéntica, pero con x y p cambiadas para y y q .
Entonces, dado un punto arbitrario ( x , y ) dentro del cuadrado de la unidad, ahora hemos demostrado cómo construir un disco / bola que tenga ( x , y ) en su centro y esté contenido dentro del cuadrado de la unidad. Por lo tanto, el cuadrado de la unidad está abierto.
—ALTERNATIVA—
A juzgar por su pregunta, probablemente no haya demostrado el teorema de que el producto finito de los conjuntos abiertos siempre está abierto. Si es así, este problema es un corolario inmediato del teorema general.
