Demostremos que cuando la expresión q-ary es periódica, x es racional.
Si la expresión q-ary es cero después de cierto punto, claramente x es racional. Si no es así, supongamos que es periódica sobre n dígitos. Entonces x (q ^ n – 1) es un número racional, que muestra que x también es racional. En la base 10, esto significa que dado un número como 0.142857142857…, 1000000 * 0.142857142857… – 0.142857142857… = 142857. Por lo tanto, 0.142857142857… = 142857/999999 = 1/7.
Ahora, supongamos que x es racional. Demostremos que la expresión q-ary es periódica.
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¿Cómo escribimos x como una expresión q-aria? Bueno, x = m / n para algunos enteros myn. Escriba myn en la base q, y realice el algoritmo de división. Sin pérdida de generalidad, podemos tomar m <n (de lo contrario, solo resta un número entero de x). En cada paso del algoritmo de división, siempre terminamos con algún resto, al que luego le ponemos un cero para obtener el siguiente dígito en el cociente. Este resto puede ser cualquier número 1 a n. Si el resto está en cualquier punto n, entonces la expresión q-aria para m / n termina en ceros, que es periódica.
De lo contrario, debido a que solo hay opciones n-1 para el resto, eventualmente volvemos al resto que hemos visto antes. En este punto, continuar con el algoritmo de división producirá la misma cadena de dígitos en el cociente que la última vez, ¡dándole una expresión periódica q-aria!
