La clasificación de los grupos de Lie no compactos en general es básicamente inútil. Es al menos tan difícil como la clasificación de álgebras de Lie nilpotentes (que corresponden a una clase particular de grupos de Lie no compactos simplemente conectados), que es “salvaje” más allá de cierta dimensión (7 u 8? No tengo una referencia desactivada la parte superior de mi cabeza).
La clasificación de los subgrupos de [math] GL_n (\ mathbb {R}) [/ math] es esencialmente la clasificación de representaciones reales fieles de grupos de Lie, que también es básicamente inútil. Muchos, pero no todos los grupos de Mentiras admiten tales representaciones; un ejemplo famoso que no lo es es la cubierta universal de [math] SL_2 (\ mathbb {R}) [/ math].
Aquí hay una clasificación muy aproximada. Primero, un grupo de Lie conectado [matemáticas] G [/ matemáticas] se clasifica por un par que consiste en su cubierta universal [matemáticas] \ widetilde {G} [/ matemáticas] y su grupo fundamental, como un subgrupo central discreto [matemáticas] Z [/ math] de [math] \ widetilde {G} [/ math]. ([math] G [/ math] en sí es [math] \ widetilde {G} / Z [/ math].) La cubierta universal es un grupo de Lie simplemente conectado, por lo que se clasifica por su álgebra de Lie. En este punto, estamos reducidos a clasificar álgebras de Lie de clasificación (finita-dimensional, real).
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A continuación, la descomposición de Levi: Wikipedia descompone cualquier álgebra de Lie como producto semidirecto de un álgebra de Lie solucionable y un álgebra de Lie semimple. Esto reduce el problema a la clasificación de 1) álgebras de Lie solubles (esta parte no tiene remedio, como se indicó anteriormente), 2) álgebras de Lie semisimple (conocidas) y 3) acciones de álgebras de Lie semisimple en álgebras de Lie solubles (no sé qué tan difícil esto es para un álgebra de Lie solucionable fija).
