El único caso que no puede tener es “ambos están seleccionados”. Simplemente podemos restar esto del número total de combinaciones. Entonces, la cantidad de formas posibles donde no están juntos es
N ([matemática] no juntos [/ matemática]) = N ([matemática] total [/ matemática]) – N ([matemática] ambos [/ matemática]).
El número total de combinaciones, ignorando nuestro requisito es bastante fácil:
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N [matemática] ([/ matemática] [matemática] total [/ matemática] [matemática]) [/ matemática] [matemática] = {\ dbinom {n} {k}} [/ matemática].
Para encontrar N ([matemáticas] ambos) [/ matemáticas] necesitamos seleccionar [matemáticas] k-2 [/ matemáticas] más personas (nuestras dos personas especiales están preseleccionadas) de las [matemáticas] n-2 [/ matemáticas] restantes , entonces
Num [matemática] (ambos) = [/ matemática] [matemática] {\ dbinom {n-2} {k-2}} [/ matemática].
Lo que nos da,
Num [matemática] (no juntos) = [/ matemática] [matemática] {\ dbinom {n} {k}} [/ matemática] [matemática] – [/ matemática] [matemática] {\ dbinom {n-2} { k-2}} [/ matemáticas].