¿De cuántas maneras se puede elegir a [math] k [/ math] personas entre [math] n [/ math] people para que [math] 2 [/ math] personas dadas nunca puedan estar juntas?

Supongo que quisiste decir que ambos son elegidos o ninguno de ellos elegido por “juntos”. Podemos contar las situaciones en que están “juntos” y restarlo de todas las situaciones posibles. Para los dos elegidos tenemos [math] \ dbinom {n-2} {k-2} [/ math] y [math] \ dbinom {n-2} {k} [/ math] para ninguno de los elegidos.

[matemáticas] \ displaystyle \ dbinom {n} {k} – \ dbinom {n-2} {k-2} – \ dbinom {n-2} {k} [/ matemáticas].

Lo que se simplifica como:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2 (n-2)!} {(nk-1)! (k-1)!} [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que solo es cierto cuando [math] k \ geq 2 [/ math].

Digamos que tenemos n personas, incluidas Alice y Bob. Quiere saber de cuántas maneras podemos elegir un equipo de k personas que no tengan tanto a Alice como a Bob.

Dividirlo en tres casos:

1) Elige un equipo de k personas que no tengan a Alice y que no tengan a Bob.

En este caso, estamos eligiendo k de n-2, porque estamos eliminando tanto a Alice como a Bob. Entonces la respuesta es [matemáticas] \ binom {n-2} {k} [/ matemáticas]

2) Elige un equipo de k personas que tenga Alice, pero no Bob.

En este caso, estamos eligiendo k-1 de n-1, porque estamos eliminando a Bob, y Alice ya está elegida. Entonces la respuesta es [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]

3) Elige un equipo de k personas que no tengan a Alice, pero que tengan a Bob.

En este caso estamos eligiendo k de n-1, porque estamos eliminando Alicena d Bob ya está elegido. Entonces la respuesta es [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]

Al sumar estos tres casos, obtenemos:

[matemáticas] \ binom {n-2} {k} + [/ matemáticas] [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} + [/ matemáticas] [matemáticas] \ binom {n-1} {k -1} [/ matemáticas]

Esto se puede simplificar para:

[matemáticas] \ binom {n-2} {k} +2 [/ matemáticas] [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]

Al menos esta respuesta se ve bonita.