¿De cuántas maneras se puede elegir a [math] k [/ math] personas entre [math] n [/ math] people para que [math] 2 [/ math] personas dadas nunca puedan estar juntas?

El único caso que no puede tener es “ambos están seleccionados”. Simplemente podemos restar esto del número total de combinaciones. Entonces, la cantidad de formas posibles donde no están juntos es

N ([matemática] no juntos [/ matemática]) = N ([matemática] total [/ matemática]) – N ([matemática] ambos [/ matemática]).

El número total de combinaciones, ignorando nuestro requisito es bastante fácil:

N [matemática] ([/ matemática] [matemática] total [/ matemática] [matemática]) [/ matemática] [matemática] = {\ dbinom {n} {k}} [/ matemática].

Para encontrar N ([matemáticas] ambos) [/ matemáticas] necesitamos seleccionar [matemáticas] k-2 [/ matemáticas] más personas (nuestras dos personas especiales están preseleccionadas) de las [matemáticas] n-2 [/ matemáticas] restantes , entonces

Num [matemática] (ambos) = [/ matemática] [matemática] {\ dbinom {n-2} {k-2}} [/ matemática].

Lo que nos da,

Num [matemática] (no juntos) = [/ matemática] [matemática] {\ dbinom {n} {k}} [/ matemática] [matemática] – [/ matemática] [matemática] {\ dbinom {n-2} { k-2}} [/ matemáticas].

Supongo que quisiste decir que ambos son elegidos o ninguno de ellos elegido por “juntos”. Podemos contar las situaciones en que están “juntos” y restarlo de todas las situaciones posibles. Para los dos elegidos tenemos [math] \ dbinom {n-2} {k-2} [/ math] y [math] \ dbinom {n-2} {k} [/ math] para ninguno de los elegidos.

[matemáticas] \ displaystyle \ dbinom {n} {k} – \ dbinom {n-2} {k-2} – \ dbinom {n-2} {k} [/ matemáticas].

Lo que se simplifica como:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {2 (n-2)!} {(nk-1)! (k-1)!} [/ matemáticas].

Tenga en cuenta que solo es cierto cuando [math] k \ geq 2 [/ math].

Digamos que tenemos n personas, incluidas Alice y Bob. Quiere saber de cuántas maneras podemos elegir un equipo de k personas que no tengan tanto a Alice como a Bob.

Dividirlo en tres casos:

1) Elige un equipo de k personas que no tengan a Alice y que no tengan a Bob.

En este caso, estamos eligiendo k de n-2, porque estamos eliminando tanto a Alice como a Bob. Entonces la respuesta es [matemáticas] \ binom {n-2} {k} [/ matemáticas]

2) Elige un equipo de k personas que tenga Alice, pero no Bob.

En este caso, estamos eligiendo k-1 de n-1, porque estamos eliminando a Bob, y Alice ya está elegida. Entonces la respuesta es [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]

3) Elige un equipo de k personas que no tengan a Alice, pero que tengan a Bob.

En este caso estamos eligiendo k de n-1, porque estamos eliminando Alicena d Bob ya está elegido. Entonces la respuesta es [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]

Al sumar estos tres casos, obtenemos:

[matemáticas] \ binom {n-2} {k} + [/ matemáticas] [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} + [/ matemáticas] [matemáticas] \ binom {n-1} {k -1} [/ matemáticas]

Esto se puede simplificar para:

[matemáticas] \ binom {n-2} {k} +2 [/ matemáticas] [matemáticas] \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]

Al menos esta respuesta se ve bonita.