Dijiste que conoces la transformación de Fourier, entonces no necesito explicar la motivación detrás de esto ¿verdad? Entonces, la transformada de Fourier es en realidad una extensión de la transformada de Laplace en el plano imaginario, recuerde el hecho de que la transformada de Fourier se evalúa específicamente en el eje [math] j \ omega [/ math], porque la ROC (región de convergencia) * contendrá * lo imaginario eje y eso significa que el sistema es estable ¿verdad? porque hacemos FT solo a sistemas estables.
Y en lo que se basa principalmente FT es en visualizar señales o funcionar como una base infinita de sinusoides y co-sinusoides.
Ahora, ¿por qué sinusoides y co-sinusoides? porque son función propia …
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Es decir, si los aplica como entrada a cualquier sistema invariante de tiempo lineal, obtendrá la misma señal con la misma frecuencia con cierto desplazamiento de fase.
[matemáticas] A. \ sin (\ omega t) \ rightarrow \ boxed {\ dfrac {s + b} {s + a}} \ rightarrow B.sin (\ omega t \ pm \ phi) [/ math]
lo mismo sucede con los cosenos también, y lo mismo ocurre con [matemáticas] e ^ {- j \ omega t} [/ matemáticas] también, ¿creo que puedes adivinar a dónde voy con esto?
es por eso que tomamos la función ponderada como [math] e ^ {- st} [/ math], donde s no es más que un número complejo específico (mejor llámelo frecuencia)
[matemáticas] s = \ sigma + j. \ omega \ tag * {} [/ math]
Esto explica la migración al dominio de frecuencia desde el dominio del tiempo
entonces esto hace que [math] \ mathcal {L} [f (t)] = F (s) = \ displaystyle \ int_ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt ~ [/ math] (considerando una señal causal)
para la transformada de Fourier como dije anteriormente que se evalúa en un eje imaginario, entonces tomamos [math] \ sigma = 0 [/ math] y luego s se convierte en [math] s = j. \ omega [/ math]
así que aquí [matemáticas] \ matemáticas {F} [f (t)] = F (j \ omega) = \ displaystyle \ int_ {0 ^ {-}} ^ {\ infty} e ^ {- j \ omega t} f (t) dt [/ math] (considerando una señal causal)
pero para Laplace también podemos obtener una amplia gama de ejes reales, lo que también nos permite analizar señales inestables utilizando LT.
Esta es la razón principal para elegir esta función, pero también nos da otras ventajas, ya que puede producir una integral convergente, es principalmente una buena función de descomposición causal que es limitada y finita y produce 1 cuando [math] s = 0 [/ math ]
Si tienes dudas no dudes en preguntarme
