La inclusión-exclusión es la forma en que abordaría este problema.
Primero, consideremos cómo ordenar 12 conos de 31 sabores, sin restricción. Es decir [matemáticas] 31 ^ {12} [/ matemáticas] si los conos están numerados, pero generalmente suponemos que los conos no son distintos. Luego, un resultado estándar en combinatoria (seleccionando sub-conjuntos múltiples de tamaño K de un conjunto múltiple de N elementos diferentes) nos da [matemáticas] {k + n-1 \ elegir k} = {42 \ elegir 12} [/ matemáticas] diferentes opciones .
Ahora restemos la cantidad de formas de tener 11 o 12 conos de un solo sabor.
- ¿Cómo logró Andrew Wiles probar el último teorema de Fermat cuando otros fallaron?
- ¿Son subjetivos los axiomas matemáticos y hacen las matemáticas subjetivas?
- Cómo demostrar que 4 es cósmico
- Cómo demostrar que no es posible cubrir un tablero de ajedrez de 10 × 10 con piezas de 1 × 4
- Cómo asegurarme de que las matemáticas que estudio se quedarán conmigo
Si los 12 conos tienen el mismo sabor, hay 31 formas diferentes de hacerlo, solo elija un sabor.
Si 11 conos tienen el mismo sabor, tenemos 31 opciones para ese sabor y 30 opciones para el cono restante, o 930 posibilidades.
Afortunadamente hemos terminado, ya que los casos de 11 y 12 conos no se superponen, por lo que el resultado final es 11058116888 – 31 – 930 = 11,058,115,927 formas.
ETA: La suposición de que los conos no son distintos me parece sospechosa. Si preguntamos, en cambio, cuál era la cantidad de formas de servir helado a 12 personas, entonces obviamente las personas serían distintas y el cálculo anterior sería incorrecto.
Si el orden de los conos es importante, entonces para 11 conos que tienen el mismo sabor, tenemos un factor adicional, que es que debemos elegir una de las 12 personas para obtener el sabor extraño, o 31 * 30 * 12 posibilidades, y el resultado es [matemáticas] 31 ^ {12} – 31 – 31 * 30 * 12 [/ matemáticas] en su lugar.
