Como no soy en absoluto un experto, lo mejor que puedo darle son las motivaciones para los axiomas.
Revisemos primero qué tipo de datos caracteriza una teoría de campo cuántico functorial descrita por los axiomas: a cada múltiple liso cerrado orientado [math] n [/ math] -dimensional, hay un módulo asociado. Para cada colector orientado suave [math] (n + 1) [/ math] -dimensional con límite, asociamos un solo estado en el espacio de estados asociados a su límite . Este valor representa el estado de vacío del múltiple con límite.
Ahora, veamos los axiomas.
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Funcionalidad
El axioma de la functorialidad dice que, si asocio módulos [matemática] S, S ^ \ prime [/ matemática] a múltiples cerrados [matemática] \ Sigma, \ Sigma ^ \ prime [/ matemática], entonces para cualquier (orientación-preservación) diffeomorphism [math] f: \ Sigma \ to \ Sigma ^ \ prime [/ math] hay un mapa asociado de módulos [math] \ phi: S \ to S ^ \ prime [/ math], de modo que la composición se conserva bajo la Asociación. Esto actúa como una condición de coherencia en el QFT: si obtengo un operador lineal que describe la evolución temporal de un sistema de [matemática] t [/ matemática] a [matemática] t ^ \ prime [/ matemática], y obtengo otro lineal operador que describe la evolución de [math] t ^ \ prime [/ math] a [math] t ^ {\ prime \ prime} [/ math], luego componer los operadores me da la evolución del tiempo para pasar de [math] t [ / math] a [math] t ^ {\ prime \ prime} [/ math]. En cierto sentido, este axioma prohíbe que surjan paradojas temporales.
Involutorialidad
Este axioma dice que si invierto la orientación en mi volumen mundial, entonces el espacio de estados asociado es el doble de eso para la orientación original del volumen mundial. Realmente no sé cuál es el significado de este axioma, pero creo que permite que la teoría use la notación de corchetes.
Multiplicidad
La multiplicidad dice que el espacio de estados de un sistema compuesto será el producto de los espacios de estados para los componentes individuales, lo cual es un axioma razonable para imponer ya que esto es cierto en la mecánica clásica y nos permite dividir los problemas físicos en componentes más pequeños.
Valor del sistema vacío
Se requiere que el sistema vacío tenga el espacio trivial de estados: es solo el anillo sobre el que deben residir todos los módulos asociados. Además, el estado de vacío del límite del espacio vacío (que también está vacío) es la identidad multiplicativa en ese anillo. Estoy bastante seguro de que este axioma codifica la invariancia espacial, similar a la forma en que el primer axioma codifica la invariancia temporal.
Axioma Hermitiano
El axioma hermitiano dice que el estado de vacío del doble de un volumen mundial es el cuadrado del estado de vacío del volumen mundial original, y no sé cuál es su significado.
Matemáticamente, las teorías de campo cuántico functoriales son interesantes porque nos brindan un nuevo conjunto de herramientas con las que estudiar múltiples, y también surgen en el estudio del álgebra superior, donde la teoría de la cohomología de los acordeismos se captura al observar las transformaciones de espacios en algo llamado espectro de Thom. El espectro de Thom es el espacio total de una fibración muy fundamental del espacio de clasificación para paquetes de vectores reales. En resumen, aprender sobre las teorías de campo cuántico functorial también arroja luz sobre la naturaleza y las interacciones de los paquetes de vectores reales, que son interesantes por una serie de razones que probablemente ya conozca.
Perdón por no poder dar más información, ¡pero espero que esta respuesta sea al menos parcialmente esclarecedora!
