Un hombre viaja en bote con una velocidad promedio de 5 km / h durante 6 horas. ¿Probar que habría un intervalo de 1 hora en el que el hombre habría recorrido 5 kilómetros?

Sea d (t) la distancia que recorre el hombre en una hora. Si d (t) siempre es superior a 5 o siempre inferior a 5, existe una contradicción. Entonces d (t) debe estar por encima y por debajo de 5 entre t = 0 y t = 5. Suponga que d (t) es continuo, aplique el teorema del valor medio y listo, ya que debe haber tal d (t) = 5.

Para este hombre, sea f (x) la distancia en km recorrida por este hombre en el período de x horas a 1 + x horas desde su inicio. Entonces f (x) se define en el intervalo [0,5]. Tenga en cuenta que f es una función continua. Necesitamos demostrar que existe una x en [0,5] tal que f (x) = 5. Si f (0) = 5 o f (5) = 5, hemos terminado. Tenga en cuenta que (f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5)) / 6 = 5. Si f (x) nunca es mayor que 5 o nunca menos de 5, entonces para que esta condición se mantenga f (x) debe ser 5 en algunos puntos para que se mantenga (Si f (0), f (1), … f (5) son todos menos de 5, entonces su promedio no puede ser 5, similar para el caso donde todos son mayores que 5) y ya hemos terminado. De lo contrario, supongamos que tenemos un punto p y q tal que f (p)> 0 yf (q) <0. En ese caso, dado que f es continuo, debe haber una x en (p, q) tal que f (x ) = 0.