Obteniendo un poco más técnico aquí, el problema fundamental aquí es que el intervalo [matemáticas] [0, 1] [/ matemáticas] es compacto, mientras que la línea real no lo es. Los mapas continuos conservan la compacidad, por lo que no puede haber uno entre estos dos espacios. Si agrega puntos [matemática] \ infty [/ matemática] y [matemática] – \ infty [/ matemática] tal que [matemática] – \ infty <x <\ infty [/ matemática] para cada [matemática] x [/ real matemática], este nuevo conjunto es compacto y puede tener un mapa continuo desde [matemática] [0, 1] [/ matemática].
Sin embargo, es muy importante entender que este nuevo conjunto, que generalmente se conoce como la línea real extendida, no tiene las buenas propiedades de la aritmética a las que está acostumbrado. En particular, no puede tratar [math] \ infty [/ math] o [math] – \ infty [/ math] como números ordinarios con respecto a la aritmética.
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