Extendería más sobre por qué la respuesta es una.
Lo que sabemos calcular es la longitud de un intervalo. Su longitud es la diferencia entre sus extremos. Eso es todo, y desde aquí todo se extrapola.
- Entonces, sabemos que la longitud es la misma para los intervalos traducidos.
- Sabemos que es monótono: si un intervalo está contenido en otro, entonces no es más grande que él.
- Sabemos que el intervalo se resume, al menos para sumas finitas.
- Sabemos que si “estiramos” un intervalo termina en un número, la longitud aumenta en la misma constante
Por lo tanto, se necesita un poco de trabajo para ver estos atributos (fortalecidos por una declaración sobre sumas contables) realmente definen una medida de longitud para muchos subconjuntos de números. ¿Por qué no todos? Una historia diferente para un día diferente 🙂
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Debido a la aditividad y la invariancia de traducción, sabemos que afirmar que la longitud del intervalo fijado es uno es equivalente a la afirmación de que la longitud de un punto es 0. Entonces, ¿por qué la longitud de un punto, digamos 0, es 0?
Bueno, primero, está contenido en el intervalo [-1,1], por lo que su longitud no es mayor que 2. Pero también está contenido en el intervalo [-0.1,0.1], por lo que su longitud no es mayor que 0.2. El resto es obvio, es un número no negativo menor que cualquier longitud finita. Por lo tanto, si se define, ¡debe ser cero!
Lo que no he mostrado es que está definido, pero para eso es mejor conferir un libro.
¿Por qué es esto intuitivo?
Bueno, comencemos a sacar números al azar uniformemente en el intervalo. Es de esperar que la probabilidad de elegir un solo número sea 0. No es que no se pueda elegir, pero tiene una probabilidad cero. Piénselo de esta manera: tomando numerosas opciones aleatorias como se describe, y tomando el número de “numerosas” hasta el infinito, el porcentaje de las veces que se elige 0.5 tenderá a cero. Tiene sentido, y también tiene sentido que si tuviera una “mayor longitud”, esto sería relevante para su probabilidad de ser elegido. Nuevamente, para una explicación más profunda si se refiere un libro o al menos wiki.
