Advertencia: Respuesta muy técnica.
Nota: Mi comprensión del Dirac Bracket es más matemática y desde la perspectiva de la Geometría compleja generalizada (GCG) de Hitchin y Gualtieri [0]. Como tal, esta respuesta podría no ser la respuesta geométrica más directa; sin embargo, es la definición que di en mi tesis de honores y es todo lo que sé. Además, soy un poco descuidado cuando me refiero al paquete de tangente compleja o no (una estructura de Dirac real es la misma definición sobre un paquete de tangente real) – lo siento de antemano.
Primero, demos la definición (física) del Dirac Bracket [math] \ {\ cdot, \ cdot \} _ {D} [/ math] en términos del Poisson Bracket [math] \ {\ cdot, \ cdot \} _ {P} [/ matemáticas]:
- ¿Cuáles son algunas preguntas abiertas en matemáticas que se hicieron por primera vez después de los años 2000?
- ¿Por qué no hay más personas como Elon Musk que se destaquen en múltiples campos?
- Si un hombre va de A a B a C y se fue a casa a B y A, ¿cuántos caminos diferentes podría recorrer el hombre?
- ¿Qué piensan los profesores de matemáticas del libro de Marilyn Vos Savant, 'El problema matemático más famoso del mundo: la prueba del último teorema de Fermat'?
- ¿Cuál es la diferencia entre prueba de trabajo y prueba de participación? ¿Hay algún proyecto relacionado con las criptomonedas que use únicamente el método de prueba de participación?
[matemáticas] \ {f, g \} _ {D} = \ {f, g \} _ {P} – \ sum_ {i, j} \ {f, \ phi_i \} _ {P} M_ {ij} ^ {- 1} \ {\ phi_j, g \} _ {P} [/ math]
con [matemáticas] M_ {ij} = \ {\ phi_i, \ phi_j \} _ {P} [/ matemáticas]
donde el conjunto [math] \ {\ phi_i \} [/ math] es un conjunto de restricciones de segundo orden.
Pregunta 1: ¿Cuáles son exactamente estas misteriosas restricciones de segundo orden?
Están definiendo funciones para un submanifold de restricción [matemática] C \ hookrightarrow M [/ matemática] en la que estamos obligando al sistema a mentir . Tenga en cuenta que en lugar de proporcionar funciones definitorias, podemos suministrar campos vectoriales [matemáticos] nk [/ matemáticos] (donde [matemático] k [/ matemático] es la dimensión de [matemático] C [/ matemático], [matemático] n [/ math] es la dimensión de [math] M [/ math]) cuyo núcleo [math] C [/ math]. Por el contrario, podríamos suministrar un conjunto de campos vectoriales [math] k [/ math] que desaparecen en [math] M – C [/ math].
Por lo tanto, podemos pensar en la especificación de las restricciones [math] k [/ math] como la especificación de los campos vectoriales [math] k [/ math] [1]
Pregunta 2: ¿Cuál es la relación entre el soporte de Poisson y el soporte de Dirac?
Idea básica: el soporte de Poisson se define únicamente mediante el uso de la forma simpléctica [math] \ omega [/ math]. Sin embargo, para definir nuestras restricciones, debemos considerar un conjunto de campos vectoriales [matemáticos] k [/ matemáticos] en [matemáticos] M [/ matemáticos], donde [matemáticos] k [/ matemáticos] es la dimensión de Restricción múltiple. Tal conjunto de campos vectoriales que también forman un marco tangente [matemático] k [/ matemático] en todos los puntos se conoce como distribución tangente. Para integrar las ecuaciones de Hamilton, necesitamos que estos campos vectoriales sean integrables: el teorema de Frobenius proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que esto se mantenga. Por lo tanto, el soporte de Dirac se define tanto en un conjunto de campos vectoriales en [matemática] M [/ matemática] como en una sola forma de 2 (la forma simpléctica). Matemáticamente, es más fácil considerar el paquete [math] TM \ oplus T ^ * M [/ math] (es decir, la suma directa de vectores y formas tangentes) y las secciones de este paquete (es decir, la ‘suma’ de un campo vectorial y una forma diferencial). Podemos definir el corchete en términos de un corchete ‘natural’ que uno puede poner en [math] TM \ oplus T ^ * M [/ math] llamado el corchete de Courant.
Curiosamente, esto no se resolvió hasta 1990. Thomas Courant [2] decidió que considerar [math] TM, T ^ * M [/ math] como paquetes separados sobre un múltiple [math] M [/ math] es una tontería. Sin embargo, el paquete tangente tiene una estructura importante de álgebra de mentiras (p. Ej., A través del paréntesis estándar [math] [\ cdot, \ cdot]: \ Gamma (TM) \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ Gamma (TM) \ rightarrow \ Gamma (TM) [/ math], donde [math] \ Gamma (V) [/ math] significa “secciones de un paquete de vectores [math] V [/ math]) mientras que el paquete cotangente da lugar al álgebra exterior . descubrió cómo combinar estas dos estructuras en algo conocido como el algeroide de Courant . La idea es bastante simple: definir un paréntesis en [matemáticas] TM \ oplus T ^ * M [/ matemáticas] ([matemáticas] \ oplus [/ matemáticas] es la suma de Whitney) que respeta las estructuras de Lie y álgebra exterior, a saber, el Brarant Bracket,
[matemáticas] [\ cdot, \ cdot] _ {C}: \ Gamma (TM \ oplus T ^ * M) \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ Gamma (TM \ oplus T ^ * M) [/ math] [matemáticas] \ rightarrow \ Gamma (TM \ oplus T ^ * M) [/ matemáticas]
[matemática] [X + \ alpha, Y + \ beta] _ {C} = [X, Y] + \ mathcal {L} _ {X} \ alpha – \ mathcal {L} _ {Y} \ beta – [/ math ]
[matemáticas] \ frac {1} {2} d (\ iota (X) \ alpha – \ iota (Y) \ beta) [/ matemáticas]
Desafortunadamente, [math] TM \ oplus T ^ * M [/ math] no satisface la identidad de Jacobi con este corchete, por lo que no es un álgebra de mentiras. Pero está lo suficientemente cerca y, de hecho, es un álgebra de Clifford muy útil (Physicists: Fermions!) Y de hecho es el primer ejemplo de un Algebroid de Lie.
Genial, entonces, ¿qué tiene que ver todo esto con el soporte Dirac? Resulta que primero necesitamos extender la estructura simpléctica estándar [3] (especificada por [math] \ omega \ in \ wedge ^ 2 T ^ * M [/ math]) a algo llamado estructura de Dirac . En pocas palabras, una estructura Dirac es un subconjunto isotrópico máximo involutivo [matemática] L [/ matemática] de [matemática] TM \ oplus T ^ * M [/ matemática] (debajo del corchete de Courant). Estas son condiciones geométricas:
- Un subespacio isotrópico máximo [matemática] W [/ matemática] es un espacio tal que [matemática] [\ cdot, \ cdot] _ {C} \ vert_ {W} = 0 [/ matemática]. Me refiero a esta excelente respuesta MathOverflow [4] para explicar el significado geométrico
- De acuerdo con el Teorema de Frobenius, tenemos la integrabilidad de una distribución tangente [matemática] D \ subconjunto TM [/ matemática] iff [matemática] D [/ matemática] es involutiva. Esto significa que [matemáticas] [D, D] \ subconjunto D [/ matemáticas]. Gualtieri y Hitchin probaron una versión generalizada del teorema de Frobenius para GCG (y el soporte de Courant).
Ahora tenemos la definición del soporte de Dirac en este marco:
Definición. Si [math] L \ subconjunto TC \ oplus T ^ * C [/ math] es una estructura de Dirac en un múltiple simplificado y constreñido [math] C \ hookrightarrow M [/ math], entonces el Bracket Courant está restringido a [math] L [ / math] es el soporte de Dirac [4].
Todo el programa de Courant para ‘generalizar’ todas las estructuras geométricas se ha vuelto muy popular en los últimos tiempos. La idea es que todas las estructuras geométricas (Riemannian, Symplectic, Hamiltonian, Poisson, etc.) están representadas por campos vectoriales y campos tensoriales. Por lo tanto, tiene sentido considerar estas estructuras como simplemente ciertas secciones de [matemáticas] TM \ oplus T ^ * M [/ matemáticas] en lugar de secciones individuales de [matemáticas] TM [/ matemáticas] o [matemáticas] T ^ * M [/matemáticas]. Los GCG son importantes para la teoría de cuerdas (¡y mi tesis de honor!) Porque sirven como buenos espacios modelo para AdS / CFT (y otras configuraciones de dualidad calibre-gravedad)
¡Espero que esto ayude!
[Nota: podría agregar más a esta respuesta más adelante, en caso de que la gente quiera más detalles]
[0] http://arxiv.org/abs/math/0401221 <—– Amazing Read. Si desea la versión física, consulte nuestra revisión de Korber: http://arxiv.org/abs/1006.1536
[1] Hay que tener un poco de cuidado aquí. Realmente quiero decir que estamos especificando una distribución tangente.
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Cou…
[3] Hay una razón por la que estoy extendiendo la estructura simpléctica: el soporte de Dirac del físico siempre lo usa en notación coordinada. Sin embargo, en realidad, esto no es realmente necesario debido a un teorema de Chevalley ( The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras, creo que el Capítulo III de la parte de Clifford Algebra) que clasifica todos los subgrupos de [math] TM \ oplus T ^ * M [/ math] al mostrar que cualquier subbundle es el núcleo de alguna forma [math] 2 [/ math].
[4] http://mathoverflow.net/question…
[5] Técnicamente, me refiero al retroceso del corchete Courant a lo largo del mapa [matemáticas] C \ hookrightarrow M [/ matemáticas]. Hay que tener un poco más de cuidado con las definiciones (por ejemplo, necesito definir qué es un morfismo de Lie Algebroid y definir el retroceso), pero esta es una definición de trabajo lo suficientemente buena. De hecho, es bastante similar a las primeras definiciones en los trabajos de Hitchin de principios de los años noventa.
