¿Qué es el coeficiente de Lyapunov y cómo funciona?

Supongamos que tenemos un sistema dinámico, es decir, tenemos un conjunto de reglas que describen completamente cómo evoluciona un sistema a lo largo del tiempo al expresar el futuro como una función del presente.

Una cuenta bancaria que genera intereses compuestos es un sistema dinámico muy simple. Si hay X dólares en la cuenta hoy, habrá, digamos, (1 + r) X dólares en la cuenta mañana para algún número r (la tasa de interés compuesta diaria). Si sabemos cuánto dinero hay en la cuenta en un día en particular, podemos predecir exactamente cuánto habrá en la cuenta dentro de tres años. Es un sistema determinista.

El clima, módulo de los supuestos simplificadores habituales que hacemos cuando lo modelamos, también es un sistema dinámico. Si conocemos cosas como la velocidad y la temperatura del viento en cada punto de la atmósfera, deberíamos poder escribir ecuaciones que nos digan cómo se desarrollará el clima. En principio, dado el estado actual del clima, deberíamos poder predecir el clima futuro con una precisión casi perfecta.

Por supuesto, cualquiera que haya visto un pronóstico del tiempo sabe que realmente no podemos hacer esto. ¿Por qué la situación es más complicada que el escenario de la cuenta bancaria?

Bueno, la cuestión es que nunca sabemos exactamente cuál es el estado del sistema meteorológico actual. No podemos simplemente cubrir cada punto del cielo con sensores. En el mejor de los casos tenemos una aproximación.

Sin embargo, esto realmente no explica las cosas. Después de todo, si supiéramos aproximadamente cuánto dinero había en la cuenta bancaria, aún podríamos calcular aproximadamente cuánto estaría en ella al final de varios años, y el error en nuestra aproximación solo reflejaría el error en nuestra estimación original .

Sin embargo, todavía estamos en el camino correcto. La diferencia con el sistema meteorológico es que su comportamiento se caracteriza por puntos críticos, lo que Malcolm Gladwell llama “puntos de inflexión”, donde un ligero cambio puede llevar al sistema a una trayectoria completamente diferente. Una mariposa que agita sus alas, como dice el refrán, puede agregar suficiente empuje adicional para que un huracán se retuerza. Esto contrasta fuertemente con la situación de la cuenta bancaria, donde un solo centavo bien ubicado nunca representará la diferencia entre riqueza y ruina.

¿Cómo podemos cuantificar la diferencia en estos dos sistemas? Bueno, tomemos todos los estados posibles de la cuenta bancaria y descubramos exactamente cuánta diferencia puede hacer un centavo hoy en T años a partir de ahora. Luego, echemos un vistazo a todos los estados posibles del sistema meteorológico y descubramos exactamente cuánta diferencia puede hacer una mariposa hoy en T minutos a partir de ahora. Si consideramos estas cantidades como funciones de T , la primera pregunta natural es qué tan rápido crecen estas funciones.

El exponente de Lyapunov es esencialmente una medida de esto.