¿Podría alguien explicarme este concepto cinemático?

Aunque a menudo se escriben diferenciales
[matemáticas] \ frac {ds} {dt} [/ matemáticas] no es una división literal de términos pequeños.
Al igual que la suma, la multiplicación, la división son operaciones definidas en números, la diferenciación es una operación definida en funciones. Significa encontrar la tasa de cambio en una instancia dada,

Si lo desea, escriba diferenciales como este
[matemáticas] \ frac {d} {dt} s (t) [/ matemáticas]
Léelo como, la operación
[math] \ frac {d} {dt} [/ math] se realiza en la función [math] s (t) [/ math]

Llegaremos a la definición de la operación más adelante en esta respuesta.

Por ejemplo, la aguja del velocímetro le muestra que su automóvil está viajando actualmente a 30 km / h, aunque acaba de arrancar el motor durante un minuto, esto no nos hace llevar el automóvil al centro de servicio diciendo “Hola, No he viajado en una hora y este velocímetro está mal ”

Ahora veamos otra pregunta
Digamos que su amigo vive a una distancia de 10 KM y enciende su vehículo para encontrarse con su amigo y llegar después de media hora. Esto significa que su velocidad ha sido de 20 km / hora (aunque no ha viajado desde una hora). Esta es la velocidad promedio o general. Ahora lo que muestra su velocímetro es la velocidad instantánea. Que en la forma más ideal será el siguiente límite (que también define la operación)
[matemáticas] \ frac {d} {dt} s (t) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ frac {s (t + \ Delta t) – s (t)} {\ Delta t} [/ matemáticas]

Esto significa que calcula el cambio de posición en un período de tiempo muy corto, divide el cambio por el intervalo de tiempo y obtiene la velocidad, para ser matemáticamente correcto, el valor absoluto del intervalo debe ser menor que cualquier número positivo pequeño se me ocurre. Entonces, sí, la velocidad se calcula constantemente sobre muestras más pequeñas, si te gusta pensar de esa manera, pero aún así no está mal escribirlas en una notación por segundo.

Una forma más de ver cómo esta definición de velocidad instantánea es correcta es verificar que el promedio de todas las velocidades instantáneas nos lleve a la velocidad promedio como en la distancia total / tiempo total.

[matemáticas] \ frac {\ int_ {0} ^ {T} \ frac {d} {dt} s (t) dt} {\ int_ {0} ^ {T} dt} [/ matemáticas]
no es más que
[matemáticas] \ frac {s (T) – s (0)} {T} [/ matemáticas]

Cuando comenzamos con una expresión como esta

ya estamos asumiendo algo de la unidad de tiempo en la que se expresa. (Claramente, esta ecuación no puede ser cierta si cambia la unidad de segundos a horas).

Ahora consideremos un ejemplo simple de una cosa que puede moverse 2 metros en un segundo (s (t) = 2t). Y mido su velocidad al ver la distancia que recorrió en 10 segundos, sigue siendo 20/10 = 2 m / seg, la unidad es solo una forma de medición, no es el tiempo real que toma . (Considere el caso cuando medimos solo 0.01 segundos, la velocidad sigue siendo de 2 m / seg).

Siento que la razón de la confusión es la forma en que se trata la unidad. Además, como otros han sugerido, ds / dt no está dividiendo exactamente ds y dt.

Creo que entiendo su duda: si hemos “dividido” [matemáticas] ds [/ matemáticas] entre [matemáticas] dt [/ matemáticas], que es un cambio infinitesimal en el tiempo, ¿cómo podemos hablar de metros por segundo? La respuesta es que estás “dividiendo” por una cantidad que todavía se mide en segundos, y en realidad estás calculando cuánto espacio abarcaría el cuerpo si continuara con la misma velocidad por un segundo. Hagamos esto más intuitivo con un ejemplo y cantidades finitas. Digamos que desea calcular la velocidad promedio de un cuerpo que caminó (en una línea) 2 metros en medio segundo. No es un segundo completo, pero ¿por qué debería impedirnos calcular la velocidad? Simplemente dividimos el espacio por el tiempo y dejamos que las matemáticas se encarguen del resto: dividir por 0.5 es lo mismo que multiplicar por dos, lo que tiene mucho sentido en nuestro ejemplo. Ahora, volviendo a su preocupación por las derivadas, hacemos exactamente lo mismo pero dividiendo dos cantidades infinitesimales (por definición de derivada). Espero haber sido de ayuda.

PD
A lo largo de la respuesta utilicé el verbo “dividir” dos cantidades infinitesimales. Ese suele ser el significado de derivada que usamos en física, pero formalmente no es tan correcto. Puedes imaginarlo de esa manera, pero no le digas a un profesor de matemáticas 😀

Has perdido la cuenta de los derivados. s es la posición. v = ds / dt = 3t ^ 2 + 2t es la velocidad. a = dv / dt = 6t + 2 es la aceleración. En t = 2, a = 14 m / s ^ 2. Eso es por cada pequeño incremento dt (segundos) cerca de t = 2 (segundos), dv = 14dt (metros / segundo). Si a fuera constante, podría poner un dt tan grande como desee, incluso hasta 1 s, en cuyo caso dv sería 14 m / s. Pero a no es constante, por lo que no puede escalar linealmente de esa manera, lástima, muy triste.

En primer lugar, ds / dt y no dv / dt porque dv / dt significa aceleración (cambio en la velocidad y todo).
¡Voy a ser poco detallado al responder porque estoy realmente aburrido en el trabajo!
Entonces supongamos que la ecuación de distancia sea s = x. Entonces la velocidad ds / dt será hmmmm … V = 1. Sí, en cualquier momento será 1. ¿Qué significa eso? simplemente significa que la velocidad es constante y es 1 m / s. Si fue s = 2x, entonces la velocidad será v = 2 y así sucesivamente. Simple hasta ahora. No hay ruptura de la ley de física y todo hasta ahora.
Supongamos que lo hacemos s = x2 (x al cuadrado). Y ahora se desata el infierno. La velocidad se convierte en v = 2x. entonces en el tiempo x = 2 la velocidad es 4 y en 3 es 6. Distinguámoslo una vez más. Y dv / dt = 2. Voila tenemos aceleración constante y todo está bien. No más golpes en la cabeza para encontrar el significado físico de la ecuación.
Ahora volviendo a la ecuación original que tiene términos constantes y variables. Simplemente significa que allí la velocidad no aumenta o disminuye constantemente, sino que varía a medida que pasa el tiempo, tal como conducimos en un tráfico. Frenos constantes y aceleración.
Ahora, encontrar la velocidad en un momento particular en el tiempo es casi imposible si no es una velocidad constante. ¿Entonces qué hacemos? Encontramos la velocidad v en el intervalo de tiempo dt muy cerca del tiempo t = 2 seg. Y luego calcule que la velocidad no cambiará en ese pequeño intervalo. El intervalo de tiempo puede ser como nanosec o pico sec o femto o milli dependiendo de la precisión del instrumento.
Siento que toda esta confusión surgió debido al uso incorrecto de la variable. Como recalco nuevamente, no es dv / dt sino ds / dt en la pregunta. ¡Uf!
Editar: veo que el error ha sido rectificado. Entonces todos pueden ignorar el primer y último párrafo de mi respuesta.