Te has perdido algo. El operador para el impulso es [math] -i \ hbar \ frac {d} {dx} [/ math] en la base de posición. Si el operador [matemática] M = -i \ hbar \ frac {d} {dx} [/ matemática] y [matemática] | \ psi \ rangle = [/ matemática] [matemática] exp {\ frac {ipx} {\ hbar}} [/ matemáticas]
luego
[matemáticas] M ^ {+} = {(- i \ hbar \ frac {d} {dx})} ^ * [/ matemáticas]
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= [matemáticas] (i \ hbar \ frac {d} {dx}) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ langle \ psi | = exp {\ frac {-ipx} {\ hbar}} [/ math]
Ahora
[matemáticas] \ langle \ psi | M ^ {+} = i \ hbar \ frac {-ip} {\ hbar} \ langle \ psi | = \ langle \ psi | p [/ math]
y
[matemáticas] M | \ psi \ rangle = -i \ hbar \ frac {ip} {\ hbar} | \ psi \ rangle = p | \ psi \ rangle [/ math]
La definición de un operador de hermición es [matemática] M = M ^ {+} [/ matemática]
Por lo tanto, tienes
[matemáticas] \ langle \ psi | M ^ {+} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | M | \ psi \ rangle [/ math]
sentido
[matemáticas] \ langle \ psi M ^ {+} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | M \ psi \ rangle [/ math]
dónde
[matemáticas] \ langle \ psi M ^ {+} | = p \ langle \ psi | [/ math]
y
[matemáticas] | M \ psi \ rangle = p | \ psi \ rangle [/ math]
p es el valor propio.
Este es el punto de un operador Hermition. Operas en el sujetador o en un ket, obtendrás el mismo valor propio. Esto necesariamente hace que el valor propio sea real, que es la prueba proporcionada por Gokul Nair.