¿Un operador hermitiano que actúa sobre un vector de sostén produce realmente el mismo valor propio que cuando actúa sobre un vector de ket?

Te has perdido algo. El operador para el impulso es [math] -i \ hbar \ frac {d} {dx} [/ math] en la base de posición. Si el operador [matemática] M = -i \ hbar \ frac {d} {dx} [/ matemática] y [matemática] | \ psi \ rangle = [/ matemática] [matemática] exp {\ frac {ipx} {\ hbar}} [/ matemáticas]

luego

[matemáticas] M ^ {+} = {(- i \ hbar \ frac {d} {dx})} ^ * [/ matemáticas]

= [matemáticas] (i \ hbar \ frac {d} {dx}) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ langle \ psi | = exp {\ frac {-ipx} {\ hbar}} [/ math]

Ahora

[matemáticas] \ langle \ psi | M ^ {+} = i \ hbar \ frac {-ip} {\ hbar} \ langle \ psi | = \ langle \ psi | p [/ math]

y

[matemáticas] M | \ psi \ rangle = -i \ hbar \ frac {ip} {\ hbar} | \ psi \ rangle = p | \ psi \ rangle [/ math]

La definición de un operador de hermición es [matemática] M = M ^ {+} [/ matemática]

Por lo tanto, tienes

[matemáticas] \ langle \ psi | M ^ {+} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | M | \ psi \ rangle [/ math]

sentido

[matemáticas] \ langle \ psi M ^ {+} | \ psi \ rangle = \ langle \ psi | M \ psi \ rangle [/ math]

dónde

[matemáticas] \ langle \ psi M ^ {+} | = p \ langle \ psi | [/ math]

y

[matemáticas] | M \ psi \ rangle = p | \ psi \ rangle [/ math]

p es el valor propio.

Este es el punto de un operador Hermition. Operas en el sujetador o en un ket, obtendrás el mismo valor propio. Esto necesariamente hace que el valor propio sea real, que es la prueba proporcionada por Gokul Nair.

Si. Es fácil demostrar que los valores propios de un operador hermitiano son reales, entonces [math] \ lambda ^ * = \ lambda [/ math]. Considerar:

[matemáticas] M | \ psi \ rangle = \ lambda | \ psi \ rangle [/ matemáticas]

Tome un adjunto en ambos lados y obtendremos:

[matemáticas] \ langle \ psi | M ^ {+} = \ langle \ psi | \ lambda ^ * [/ matemáticas]

Como M es hermitiano y [math] \ lambda [/ math] es real:

[matemáticas] \ langle \ psi | M = \ langle \ psi | \ lambda. [/ matemáticas]

Por lo tanto, el valor propio del sujetador es el mismo que el del ket.