El intervalo entre dos vectores se puede calcular multiplicando ambos con su tensor métrico. El tensor métrico tiene los coeficientes de la función de distancia en cualquier espacio (o espacio-tiempo). Ahora considere el espacio cartesiano normal.
la distancia [matemática] ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemática]
el tensor métrico para este caso es diag (1,1,1)
- ¿Quién fue el primero en formular la teoría de la relatividad?
- ¿Qué rama de las matemáticas puede abrir la puerta para estudiar física teórica y física del universo? ¿Puro / aplicado y qué rama específica dentro?
- ¿Desde qué distancia tendría que dejar caer una piedra de 1 kg en el vacío para que alcance la velocidad de la luz?
- ¿Dónde termina la física?
- Si descubrí una teoría muy importante en matemática o física, ¿dónde me presento para que esté a salvo de los acaparadores de créditos?
entonces la cantidad [matemática] ds ^ 2 [/ matemática] es
[matemáticas] g_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j} [/ matemáticas]
Ahora observe que la suma doble significa que estamos sumando más de dos índices. Esto se refleja en la notación de Einstein donde tanto i como j están arriba y abajo. La notación de Einstein dice que los índices repetidos se suman, por lo que la expresión anterior significa la suma doble que viste en Schutz.
Además, aquí [math] dx ^ {i} [/ math] significa el componente i-ésimo. Entonces en nuestro caso,
[matemáticas] dx ^ 1 = dx [/ matemáticas]
[matemáticas] dx ^ 2 = dy [/ matemáticas]
[matemáticas] dx ^ 3 = dz [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que 1,2,3 no son exponentes sino etiquetas para componentes vectoriales aquí.
Como tenemos 3 dimensiones, tanto i como j van de 1 a 3 y, por lo tanto, tendremos 9 términos en la suma.
Ahora intenta sumar las 9 combinaciones de i y j. Como todos los términos no diagonales de g son cero, quedará con
[matemáticas] g_ {11} dxdx + g_ {22} dydy + g_ {33} dzdz [/ matemáticas]
que es igual a
[matemáticas] dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemáticas] (¡Ahora aquí están al cuadrado!)
Voila! Del mismo modo, se puede calcular el intervalo para cualquier métrica complicada.
Espero que esto ayude.
