¿Por qué el espacio físico tiene 3 dimensiones?

Tenga en cuenta que está haciendo esa pregunta a las personas tridimensionales. Miran a su alrededor y ven que sí, de hecho, hay 3 dimensiones. Algunos de ellos toman sus mejores dispositivos de medición tridimensionales y confirman que sí, de hecho, hay 3 dimensiones y que pueden darle fácilmente las dimensiones de algunos objetos tridimensionales. Este tanto ancho, tan alto, tan profundo. No importa cuántas veces medimos, ni una sola vez se nos ocurre una cuarta medida. Por lo tanto, estamos de acuerdo el uno con el otro en que no existe tal cosa, ninguna otra dimensión, que no sea como un ejercicio matemático, y cualquier cosa más allá de las 3 dimensiones estaría naturalmente en el ámbito del misticismo sobrenatural woo-woo.

Pero ve y pregúntale a alguien de 4 dimensiones, y podrías obtener una respuesta bastante diferente, y podrías compartir una risa sobre todas estas personas 3D retrasadas que insisten en vivir dentro de una caja.

La respuesta tiene algo que ver con la teoría de grupos y los cuaterniones y las álgebras de Clifford.

Localmente, nuestro universo tiene una geometría invariante de transformación de Lorentz. Si tomas la ley de Coulomb + la invariancia de Lorentz, puedes probar las ecuaciones de Maxwell.

Hay una prueba de esto en:

Principios de electrodinámica http://amzn.to/fNNtZh

Ahora, las ecuaciones de maxwell tienen simetrías interesantes que solo tienen sentido en 3 dimensiones ‘espaciales’ y que no pueden existir para ningún otro número de dimensión. La simetría que contiene nuestro universo en tres dimensiones espaciales está muy relacionada con los cuaterniones y el operador de productos cruzados.

Resulta que nuestro típico modelo de física clásica no es invariable bajo todas las transformaciones unitarias en su sistema de coordenadas. Las ecuaciones de Maxwell son invariables bajo rotaciones del sistema de coordenadas, sin embargo, cualquier escalar definido en términos de un producto cruzado se niega realmente bajo un giro de las coordenadas (paridad).

= <-x | -y>

Los productos internos se conservan bajo volteo. Sin embargo, para productos cruzados,
axb = -1 * (-ax -b), donde a y b son vectores yx es el operador de producto cruzado.

¡Una propiedad escalar definida como el producto interno de un vector y el producto cruzado de dos vectores, por lo tanto, no es invariable bajo inversión del sistema de coordenadas!
¡Algunas de las cosas que los físicos llaman escalares, en realidad no son escalares! ¡Son pseudoescalares porque no son invariables bajo una transformación unitaria del sistema de coordenadas!

Esto significa que el espacio vectorial no es en realidad un espacio de Hilbert y que los vectores no son en realidad vectores, sino “pseudo-vectores” (debe rotarlos a través de 4 * pi radianes en cualquier eje para volver a donde estaban establecidos. Son anti- simétrica bajo inversión del sistema de coordenadas). El producto interno de un vector y un pseudo-vector es en realidad un pseudo-escalar, pero a los físicos les gusta fingir que son solo escalares (pero no lo son).

Las transformaciones unitarias son las isometrías de la métrica del producto interno en el espacio de Hilbert y los físicos a menudo no diferencian entre las matemáticas utilizadas para modelar / describir el sistema y el estado real del sistema y, por lo tanto, se producen estas confusiones.

La razón por la que tenemos 3 dimensiones es que el operador de productos cruzados y las simetrías que observamos no pueden existir en un número mayor o menor de dimensiones.

Las operaciones de pseudo-escalares y pseudo-vectores que necesita solo existen en ciertos números de dimensión, uno de los cuales es 3. Creo que 4, 7, 11 y 21 también parecen funcionar, pero que solo hay un pequeño número de dimensiones posibles debido a restricciones de simetría matemática.

Desearía poder explicar esto mejor, pero no soy un experto en álgebras de Clifford.
Creo que la respuesta está en este libro:

Álgebra de espacio-tiempo http://amzn.to/dZjB4d

Si desea la conservación de la energía, las leyes 1 / r ^ 2 o la invariancia de Lorentz, está matemáticamente limitado a un número muy pequeño de posibles dimensiones espaciales. Si desecha alguna de las simetrías implícitas, termina con algo que no se parece a nuestro universo.

La mayor parte de la física teórica de hoy es solo una teoría grupal apenas disfrazada.

Por ejemplo, la “conservación de la energía” es solo la invariabilidad de la función hamiltoniana de un sistema bajo traducción en el tiempo. Si algo es cierto en física, es porque un conjunto de simetrías lo obliga a ser verdad.