No soy lo suficientemente bueno en matemáticas para idear una solución puramente formulada para esto, pero este es un ejemplo de dónde una simulación numérica es un buen enfoque del mundo real.
Para hacer esto, escribiría un programa que simule la trayectoria del proyectil para muchos valores de theta (y opcionalmente S), y para cada uno de estos escenarios, vea dónde cruza el límite de la función similar a una colina.
Los recursos informáticos son baratos, además de este enfoque le permite cambiar la función de la colina a su antojo, agregar perfiles de altura del mundo real, tener en cuenta la resistencia del aire (arrastre), etc., sin cambiar los fundamentos del programa.
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Por ejemplo, si desea tener en cuenta cosas como el arrastre y la variación de la densidad del aire en la altitud, las cosas se complican rápidamente y hacen que una solución formulada sea difícil o imposible, mientras que la simulación numérica permite que tales cosas se agreguen muy fácilmente. IIRC una de las primeras aplicaciones para computadoras fue predecir tablas de rango de artillería.
