La perspectiva de la física no es particularmente rigurosa, pero sí llega a la intuición detrás de la construcción matemática adecuada. Sin embargo, la utilidad final de la intuición es no llevarla demasiado lejos.
Los infinitesimales matemáticos son difíciles de incorporar al análisis real porque requieren un objeto con un comportamiento limitante extraño; en particular un objeto distinto de cero cuyo cuadrado es cero. Tales objetos aparecen en el análisis no estándar y los números duales, pero en realidad no tienen un lugar en el cálculo moderno. Esto lleva a que los matemáticos estropeen la fiesta diciendo cosas como “[math] \ mathrm {d} x [/ math] es solo una abreviatura de la medida de Lebesgue, con [math] \ int_ {A} \ mathrm {d} x \ , f [/ math] solo abreviatura de la función inducida por la medida de Lebesgue sobre [math] A [/ math] “. Los matemáticos no son divertidos en las fiestas [1].
Para recuperar la intuición tenemos que pensar más geométricamente. En primer lugar, tenga en cuenta que [math] \ mathrm {d} x [/ math] por sí solo no es funcional; lo funcional es la integral [math] \ int_ {A} \ mathrm {d} x \, f [/ math] y, en cierto sentido, ya podemos ver la naturaleza infinitesimal tomando el rango de integración, [math] A [/ matemáticas], para ser pequeño. Esto se formaliza en geometría diferencial donde [math] \ mathrm {d} x [/ math] es, al menos localmente, una forma de volumen y la integración consiste en contraer esta forma de volumen contra [math] n [/ math] campos vectoriales linealmente independientes . En cada punto del conjunto [math] A [/ math], estos campos vectoriales definen los vectores [math] n [/ math] que pueden considerarse libremente como formando un cuadro infinitesimal [2] en el que la función [math] f [/ math] es evaluado.
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La analogía es frágil en el mejor de los casos, pero puede ser útil cuando se razona informalmente sobre estos sistemas.
[1] Está bien, eso es descaradamente falso. La mayoría de los matemáticos son bastante interesantes.
[2] El problema con esta perspectiva es que el volumen de dicho cuadro depende de [math] \ mathrm {d} x [/ math] por lo que los vectores no definen el infinitesimal por sí mismos. Realmente en geometría diferencial los vectores son auxiliares, la forma [math] \ mathrm {d} x [/ math] determina todo.
