¿Cómo pasamos de un cambio en una cantidad al diferencial de esa cantidad?

[matemática] \ frac {dx} {dt}: = \ lim _ {\ Delta t \ a 0} \ frac {x (t + \ Delta t) – x (t)} {\ Delta t} [/ matemática]

La ecuación anterior significa físicamente que la tasa de cambio temporal de la cantidad x (derivada con respecto al tiempo) es la razón de la diferencia del cambio de x con respecto a la diferencia en el tiempo; a medida que la diferencia en el tiempo se acerca a cero. Regla secante.

A medida que la diferencia horaria [matemática] \ Delta t [/ matemática] se aproxima a cero; uno llega al diferencial en el tiempo t.

Una vez dicho esto,

[matemáticas] \ frac {d (mv)} {dt} = m \ frac {dv} {dt} + v \ frac {dm} {dt} [/ matemáticas]

La tasa de cambio de momento puede representarse como la suma de los dos diferenciales como se muestra arriba. Como m (masa) y v (velocidad) son independientes entre sí, bastaría la diferenciación ordinaria.

Si la física del problema se basa en el hecho de que la masa del sistema rara vez cambia (a diferencia del caso de reacciones químicas en las que se puede producir masa o una especie química se convierte en otra)

[matemática] \ frac {dm} {dt} = 0 [/ matemática] ya que el cambio de masa en el sistema con respecto al tiempo es esencialmente cero. (Consecuencia del equilibrio de masa)

Por lo tanto;

[matemáticas] \ frac {d (mv)} {dt} = m \ frac {dv} {dt} [/ matemáticas]

Creo que tu duda fue hacia esta dirección, por lo que pude inferir de tu apego.

Cuando pasamos de cambios a diferenciales, sugerimos que una masa, velocidad y tiempo son valores continuos. Y a pesar de que no es cierto (estrictamente hablando), tenemos el resultado correcto con un buen grado de precisión. ¿Cómo puede ser? Puede. Veamos eso en un ejemplo masivo. Sabemos que el asunto consiste en moleculas. Entonces, sugiriendo la masa promedio de la molecula de combustible quemado, ya que la masa de la molecula de CO2 es igual a [math] 7 \ cdot 10 ^ {- 23} [/ math] g. Entonces, cuando el consumo de combustible es aproximadamente [matemático] 1 \ cdot 10 ^ {- 20} [/ matemático] g / s la desigualdad es inferior al 0.1 por ciento. Y un consumo real es mucho más. 🙂

Cuando [math] \ Delta t [/ math] es muy pequeño, las fracciones [math] \ frac {\ Delta m} {\ Delta t} [/ math], [math] \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} [/ math] están infinitamente cerca de sus respectivas derivadas. Entonces, la transición de la primera ecuación a la segunda tiene lugar cuando se considera [matemáticas] \ Delta t \ rightarrow 0 [/ matemáticas]. Alternativamente, si [matemática] \ Delta t [/ matemática] es muy pequeña, [matemática] \ Delta m [/ matemática], [matemática] \ Delta v [/ matemática], [matemática] \ Delta t [/ matemática] los diferenciales y sus proporciones se denominan derivados desde el punto de vista de la física.

Comencemos desde cero.

¿Qué es la línea secante?

Una línea secante es una línea recta que une dos puntos en una función. También es equivalente a la tasa de cambio promedio.

La tasa de cambio promedio de una función entre dos puntos y la pendiente entre dos puntos son la misma cosa.

¿Qué es la línea tangente?

Una línea tangente es una línea recta que toca una función en un solo punto. La línea tangente representa la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto.

A medida que los dos puntos utilizados para la línea secante se acercan entre sí, la tasa de cambio promedio se convierte en la tasa de cambio instantánea y la línea secante se convierte en la línea tangente.

La forma simple de ver esto es la dependencia de la resta y la división. Este cambio todavía usa aritmética básica. También depende de la longitud en alguna geometría. La notación para trabajar con estos cambios está en concepto. Luego, el diferencial permite el cálculo mediante diferenciación o integración. Estos obedecen al teorema fundamental del cálculo. Se le pedirá que mantenga una notación consistente durante cualquier estudio formal de cálculo. Pero, como conceptos, son casi iguales.

Lo que hacemos es tomar lim delta t que tiende a cero. Sabemos que el límite es distributivo sobre la suma, por lo que se forma la ecuación anterior.

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