Cuando un grupo algebraico es doblemente equivalente algebra de Hopf conmutativa, un supergrupo algebraico es doblemente equivalente a un álgebra de Hopf conmutativa con clasificación Z / 2.
Existe una fuerte motivación para considerar tales supergrupos: el teorema de Deligne sobre la reconstrucción de Tannaka de las categorías de tensor en la característica cero dice que todas ellas son equivalentes a las categorías de representación de los supergrupos algebraicos.
- ¿Por qué la supersimetría? Por el teorema de Deligne
Ahora, por el concepto de geometría de Klein y geometría de Cartan, cada tipo de espacio-tiempo sensible es localmente un coset G / H. Por lo general, G toma el grupo de Poincare y H el grupo de Lorentz, luego G / H es el espacio-tiempo de Minkowski. Pero uno podría tomar a G como una extensión de supergrupo del grupo de Poincare llamado grupo de super-Poincare. Esto es lo que los físicos llaman “super-simetría”.
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Wigner entendió que las especies de partículas elementales en física son representaciones equivalentemente irreductibles del grupo local de simetría de espacio-tiempo G. La formación de sistemas compuestos de varias partículas corresponde a tensorizar estas representaciones. Por lo tanto, se obtiene una categoría tensorial de especies de partículas elementales.
Ahora uno puede cambiar la pregunta: dada cualquier categoría de tensor que parezca que debería ser una categoría de especies de partículas elementales, ¿existe un grupo de simetría de espacio-tiempo G tal que sea la categoría de Wigner de G, y si es así, qué tipo de grupos G surgir de esta manera?
El teorema de Deligne responde a esta pregunta: en condiciones moderadas de tamaño, cada categoría de tensor en la característica cero surge como una categoría de representación para algunos G, y la clase de grupos que surge de esta manera son precisamente los supergrupos algebraicos, de ahí los grupos de simetría .
