Si bien podría simplemente responder con un “no”, creo que esta pregunta merece una respuesta más matizada.
Como explica Wikipedia, los componentes de algo así como un vector de dirección deben transformarse bajo una transformación de coordenadas de modo que compensen el cambio de base … es decir, “contra-varían” con el cambio de base.
Los vectores base, a su vez, sirven como vectores tangentes para la variedad. Vectores tangentes en general, por lo tanto “co-varían” con la base: estos son los vectores covariantes.
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Cuando tomamos una derivada que tiene en cuenta la curvatura de la variedad, la derivada se encuentra a lo largo de vectores tangentes. Por lo tanto, la derivada (de un campo escalar, por ejemplo) varía de la misma manera que los vectores tangentes: es una derivada covariante.
Esto también se hace evidente en la notación. Cuando diferenciamos con respecto a las coordenadas, las coordenadas son contravariantes y terminan en el denominador. Por lo tanto, el operador derivado ordinario se convierte en [matemática] \ parcial_ \ mu = \ parcial / \ parcial x ^ \ mu [/ matemática], por ejemplo (un índice superior o contravariante en el denominador es lo mismo que un índice inferior o covariante en el numerador). Lo mismo se aplica a la diferenciación covariante, por lo que la derivada covariante con respecto a [math] x ^ \ mu [/ math] es [math] \ nabla_ \ mu [/ math].
Dicho esto, si una métrica está presente, uno podría elegir definir una “derivada contravariante”: [math] \ nabla ^ \ mu = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla_ \ nu [/ math]. Mientras se cumpla la condición métrica (es decir, todas las derivadas covariantes del tensor métrico son idénticamente cero, [matemática] \ nabla_ \ kappa g _ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemática]), también podríamos movernos la métrica bajo la derivada: es decir, [matemática] \ nabla ^ \ mu X = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla_ \ nu X = \ nabla_ \ nu (g ^ {\ mu \ nu} X) [/ matemáticas]. Pero si bien los índices superiores a menudo se usan junto con el operador de derivada covariante por conveniencia de notación, generalmente no se llama la “derivada contravariante”. Esto se debe a que la diferenciación real todavía tiene lugar con respecto a los vectores tangentes, ya sea que se generen o no índices después.
