No creo que realmente pueda hacer justicia a este tema, y he estado esperando que un experto en GR publique una respuesta, pero eso aún no ha sucedido, así que voy a decir una breve palabra porque una respuesta incompleta es mejor que cero respuestas. Asumo competencia en relatividad especial.
Entonces la motivación es algo como esto. En relatividad especial, el espacio-tiempo tiene el grupo de simetría de Poincaré, que es una forma precisa de afirmar que es homogéneo e isotrópico. Estas simetrías son bastante simples, aunque, por supuesto, sus consecuencias son profundas. Por ejemplo, no escuchará a las personas confundirse mucho acerca de qué es exactamente la simetría traslacional. Es muy simple. Simplemente elige algunos cuatro vectores [matemática] a ^ \ mu [/ matemática] y luego tiene una operación de simetría infinitesimal dada por
\ begin {ecuación *}
x ^ \ mu \ to x ^ \ mu + \ epsilon a ^ \ mu
\ end {ecuación *}
El hecho de que estas simetrías adopten una “forma” tan simple es atribuible a nuestra elección de un marco inercial. Considere lo que sucede si, en cambio, estoy sentado en el origen girando a una velocidad constante, de modo que mis ejes de coordenadas giran en relación con los de un marco inercial. Si una partícula libre viaja a una velocidad constante a lo largo del eje z (que tomaremos como mi eje de rotación) en el marco inercial, también observaré que esa partícula viaja a una velocidad constante a lo largo de mi eje z. En el marco inercial, realizar una operación de traslación produciría una partícula libre que viaja a una velocidad constante paralela al eje z, que es otra trayectoria perfectamente válida para una partícula libre. Pero si hiciera lo mismo en mi marco, no obtendría otra trayectoria válida de partículas libres en general. Para una línea recta paralela al eje z en mi marco, en el marco inercial, sería una hélice circular con su eje coincidente con el eje z, que obviamente no es la trayectoria de una partícula libre. Por el contrario, la operación de simetría correcta, que es una traducción simple en el marco inercial, parece producir un camino helicoidal en mi marco. Entonces, las simetrías se han vuelto más difíciles de describir en mi marco simplemente por la elección de coordenadas no inerciales.
Los marcos no inerciales no son muy importantes en la relatividad especial, solo surgen porque elegimos mal nuestras coordenadas. Pero en la relatividad general, son muy importantes, porque una vez que tienes gravedad, ya no es posible tener un marco inercial. Entonces, si queremos estudiar las simetrías en la relatividad general, debemos encontrar algún formalismo independiente de coordenadas (o “generalmente covariante”) para las simetrías espacio-temporales. [1]
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La forma de hacer esto es representar el generador de cada simetría como un campo vectorial. Los campos vectoriales tienen una existencia independiente de las coordenadas utilizadas para representarlos. Las operaciones de simetría se obtienen tomando eventos y moviéndolos a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial.
Los diez generadores del grupo Poincaré se pueden expresar como campos vectoriales con las siguientes representaciones de coordenadas en un marco inercial:
\ begin {align *}
P_0 & = (1, 0, 0, 0) \\
P_1 & = (0, 1, 0, 0) \\
P_2 & = (0, 0, 1, 0) \\
P_3 & = (0, 0, 0, 1) \\
J ^ {01} & = (x ^ 1, x ^ 0, 0, 0) \\
J ^ {02} & = (x ^ 2, 0, x ^ 0, 0) \\
J ^ {03} & = (x ^ 3, 0, 0, x ^ 0) \\
J ^ {12} & = (0, -x ^ 2, x ^ 1, 0) \\
J ^ {23} & = (0, 0, -x ^ 3, x ^ 2) \\
J ^ {31} & = (0, x ^ 3, 0, -x ^ 1)
\ end {align *}
(Estos son campos vectoriales, por lo que pueden variar según la posición; en un marco de inercia, las P no lo hacen, pero puede ver que las J sí lo hacen).
En el caso específico de la traducción en la dirección x generada por [math] P_1 [/ math], vemos por ejemplo que las curvas integrales están dadas por
\ begin {ecuación *}
x ^ \ mu (\ sigma) = x ^ \ mu (0) + (0, \ sigma, 0, 0)
\ end {ecuación *}
Esta es una traducción finita [2]. Para construir la misma traducción finita en el marco giratorio, todo lo que tenemos que hacer es transformar el campo vectorial [matemáticas] P_1 [/ matemáticas] de la manera habitual. Si en el tiempo t = 0 mis ejes coinciden con los del marco inercial y giro alrededor del eje z con velocidad angular [matemática] \ omega [/ matemática], llevando mis ejes de coordenadas conmigo, entonces
\ begin {align *}
t ‘& = t \\
x ‘& = x \ cos \ omega t + y \ sin \ omega t \\
y ‘& = -x \ sin \ omega t + y \ cos \ omega t \\
z ‘& = z
\ end {align *}
donde [math] (t ‘, x’, y ‘, z’) [/ math] son las coordenadas de un evento en mi marco y [math] (t, x, y, z) [/ math] son las coordenadas en el marco inercial. Luego podemos calcular el jacobiano, que escribiré en coordenadas preparadas:
\ begin {bmatrix}
1 y 0 y 0 y 0 \\
\ omega y ‘& \ cos \ omega t & \ sin \ omega t & 0 \\
– \ omega x ‘& – \ sin \ omega t & \ cos \ omega t & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}
Esta es la matriz que usamos para transformar las coordenadas de [matemáticas] P_1 [/ matemáticas], por lo que podemos ver que las coordenadas preparadas son simplemente la segunda columna:
\ begin {ecuación *}
P_1 = (0, \ cos \ omega t, – \ sin \ omega t, 0)
\ end {ecuación *}
Ahora considere una partícula ubicada en el eje z en algún momento t, de modo que sus coordenadas sean
\ begin {ecuación *}
x ^ {\ mu ‘} (0) = (t, 0, 0, z)
\ end {ecuación *}
Para aplicar la transformación de simetría generada por [math] P_1 [/ math] con el parámetro finito [math] \ sigma [/ math] tenemos que resolver el problema del valor inicial
\ begin {ecuación *}
\ frac {\ mathrm {d} x ^ {\ mu ‘} (\ sigma)} {\ mathrm {d} \ sigma} = (0, \ cos \ omega t, – \ sin \ omega t, 0)
\ end {ecuación *}
con [matemáticas] x ^ {\ mu ‘} (0) = (t, 0, 0, z) [/ matemáticas]. Es fácil ver que la solución es
\ begin {align *}
t ‘(\ sigma) & = t \\
x ‘(\ sigma) & = \ sigma \ cos \ omega t \\
y ‘(\ sigma) & = – \ sigma \ sin \ omega t \\
z ‘(\ sigma) & = z
\ end {align *}
entonces la trayectoria a lo largo del eje z dada por
\ begin {align *}
x ‘(t, \ sigma = 0) & = 0 \\
y ‘(t, \ sigma = 0) & = 0 \\
z ‘(t, \ sigma = 0) & = z_0 + vt
\ end {align *}
es simplemente llevado a
\ begin {align *}
x ‘(t, \ sigma) & = \ sigma \ cos \ omega t \\
y ‘(t, \ sigma) & = \ sigma \ sin \ omega t \\
z ‘(t, \ sigma) & = z_0 + vt
\ end {align *}
lo que muestra que la nueva trayectoria es una hélice. Ya sabíamos que, por supuesto, era obvio, pero el objetivo de este ejemplo era demostrar cómo una vez que el campo vectorial [matemático] P_1 [/ matemático] se escribe en el sistema giratorio, nos dice cómo realizar la transformación de simetría en ese sistema de coordenadas! Hacerlo dio la respuesta correcta: mapeó una trayectoria válida a lo largo del eje z en otra trayectoria válida, que es helicoidal en nuestro sistema de coordenadas (pero recto en el sistema inercial).
Estos campos vectoriales que generan simetrías son los campos vectoriales Killing de relatividad especial. Como dije antes, en la relatividad especial siempre puedes y debes elegir trabajar en un sistema inercial, por lo que los campos vectoriales de Killing no son importantes y no se muestran explícitamente. Pero, en general, la relatividad de que el lujo no existe y hay que trabajar directamente con los campos vectoriales de Killing.
Pero el espacio-tiempo no necesariamente tiene la simetría del grupo de Poincaré en la relatividad general; ya no es homogéneo e isotrópico, porque consideramos que la métrica es parte de la descripción del espacio-tiempo en sí, y la métrica puede variar con la posición, por lo que el espacio-tiempo en sí es diferente en diferentes puntos. Entonces, si queremos simetrías y leyes de conservación en presencia de gravedad, tenemos que encontrar campos vectoriales de manera que cuando fluimos todos los eventos a lo largo de ellos, cada vecindario se asigne a otro vecindario de tal manera que la métrica sea la misma entre los puntos correspondientes . [3] Tales campos son los campos del vector Killing. Está claro que si la métrica es arbitraria, entonces, en general, no se puede esperar que haya ningún campo vectorial de Matanza. ¡Así, la energía, el momento y el momento angular no se conservan en general!
Matemáticamente, la condición que debe cumplir un campo Killing es que la derivada de Lie de la métrica a lo largo del campo se desvanece en todas partes. Esto garantiza que cuando se siguen las curvas integrales, o los puntos de “Mentir arrastrar”, como se podría decir, un punto siempre se asigna a otro punto donde la métrica es la misma, ya que la derivada cero significa que no hay cambio [4]. Es decir
\ begin {ecuación *}
\ matemática {L} _X g = 0
\ end {ecuación *}
Una versión del teorema de Noether adaptada al espacio-tiempo curvo da lo siguiente como corriente conservada,
\ begin {ecuación *}
J ^ \ alpha = T ^ {\ alpha \ beta} X_ \ beta
\ end {ecuación *}
Tenga en cuenta que en un marco inercial, donde cada campo de vector constante es un campo de Matanza, esto solo se reduce a la conservación ordinaria de energía y momento.
Una vez más, estas leyes de conservación solo se pueden encontrar cuando los vectores Killing realmente existen: tenemos diez en el espacio plano, pero en el espacio curvo tenemos la suerte de tener uno. Debido a que pueden simplificar enormemente el estudio del sistema en consideración, es útil saber cuáles son.
Por ejemplo, la solución de Schwarzschild tiene cuatro campos vectoriales de Matanza: uno temporal, ya que la solución es estacionaria, y tres espaciados, ya que la solución es esféricamente simétrica. Al campo de Matanza temporal podemos asociar una energía conservada; a los tres campos de matanza tipo spacelical también asociamos cantidades conservadas, y dado que están asociadas con la simetría rotacional los llamamos momentos angulares. Estas leyes de conservación simplifican enormemente el análisis de la geodésica del espacio-tiempo de Schwarzschild; por ejemplo, la conservación del momento angular implica aquí, como lo hace en la mecánica clásica, que el movimiento de una partícula se ubicará en algún plano; y debido a la simetría rotacional, simplemente podemos tomar ese plano para que sea el plano xy sin pérdida de generalidad.
En pocas palabras: los campos vectoriales de eliminación generan simetrías en el espacio-tiempo curvo. Son necesarios porque las simetrías no son fáciles de escribir en el espacio-tiempo curvo como lo son en el espacio-tiempo plano, y su existencia tampoco puede darse por sentada; donde existen, proporcionan una forma de acceder a la información que tiene la simetría en un problema.
[1] Las simetrías de calibre son una historia diferente. En la relatividad general, el formalismo básico no cambia con respecto a la relatividad especial porque los grados internos de libertad sobre los que operan las simetrías son independientes del espacio-tiempo.
[2] “Finito” se usa aquí para significar “no infinitesimal”, como es la práctica estándar en física.
[3] Tenga en cuenta que no estamos considerando la métrica en sí como un campo dinámico aquí: vamos a recoger y mover todas las partículas y campos electromagnéticos, sino dejar la métrica donde está. Si también puede recoger y mover la métrica como todo lo demás, puede elegir cualquier campo vectorial uniforme como generador de simetría. Esta es la llamada invariancia diffeomorfista de la relatividad general.
[4] Esto no significa que los componentes de la métrica no cambien. Si toma la métrica en un punto y la arrastra a otro punto, sus nuevas coordenadas se expresarán en términos de la base de coordenadas local en el nuevo punto. Entonces, al calcular la derivada de Lie explícitamente en coordenadas, hay términos adicionales para “corregir” para esto.
