¿Cuáles son las definiciones intrínsecas libres de coordenadas de tensor de energía de estrés y tensor de momento de inercia?

El tensor de inercia es el tensor [matemática] I [/ matemática] tal que [matemática] L = I (\ omega) [/ matemática] donde [matemática] L [/ matemática] es el momento angular y [matemática] \ omega [ / math] es el vector de velocidad angular.

Antes de discutir el tensor de energía de estrés, quiero hacer una breve digresión sobre la notación de índice abstracto. Aunque la notación de índice abstracta parece una forma de escribir una fórmula que involucra coordenadas, en realidad no lo es. Tiene un propósito muy importante en el análisis de tensor, que es darnos una manera conveniente de escribir exactamente a qué operación nos referimos. En algunos casos no hay otra forma de hacer esto. Para más información sobre esto, vea la respuesta de Brian Bi a ¿Por qué los físicos usan la notación de índice abstracto en lugar de un formalismo libre de coordenadas?

Ahora que estamos de acuerdo en que usar la notación de índice abstracto no está usando coordenadas, puedo darte la definición del tensor de energía de estrés en la relatividad general (Carroll):

[matemáticas] \ begin {ecation} T _ {\ mu \ nu} = -2 \ frac {1} {\ sqrt {-g}} \ frac {\ delta S_M} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}} \ tag * {} \ end {ecuación} [/ math]

donde [math] S_M [/ math] denota la parte de la acción debido a la materia ( es decir, todo excepto el campo gravitacional).

¿Todavía no crees que esta es una definición libre de coordenadas? De acuerdo, acepto que la presencia de [math] \ sqrt {-g} [/ math] y la derivada funcional puede ser un poco difícil de interpretar. De hecho, naturalmente van de la mano. Una pequeña variación [math] \ delta g [/ math] produce en primer orden una pequeña variación [math] \ delta S_M [/ math] dada por [math] \ int_M F (\ delta g) [/ math]. La función [math] F [/ math] es un mapa lineal de [math] \ delta g [/ math] a una forma de volumen, por lo que se puede considerar que pertenece a [math] TM ^ * \ otimes TM ^ * \ otimes (TM ^ *) ^ {\ otimes \ dim M} [/ math] donde la primera copia (respectivamente) de [math] TM ^ * [/ math] en [math] F [/ math] será contratado con la primera (respectivamente segunda) copia de [math] TM [/ math] en [math] \ delta g [/ math]. Existe un campo tensor único [matemática] T [/ matemática] tal que [matemática] -2F = T \ otimes \ epsilon [/ matemática], donde [matemática] \ epsilon [/ matemática] es la forma de volumen natural para ( pseudo-) colector riemanniano [matemática] M [/ matemática]. El campo tensor [matemática] T [/ matemática] es el tensor de energía de estrés. (La idea detrás de dividir entre [math] \ sqrt {-g} [/ math] es dividir la forma del volumen para dejar solo la parte que se supone que debe contraerse con [math] \ delta g [/ math] para obtener la variación en [math] S_M [/ math].)

(Si antes no creía en la notación de índice abstracto, debería serlo ahora).