¿Cuál es el punto del análisis dimensional?

El análisis dimensional puede ser extremadamente útil en todo tipo de modelos matemáticos. Si un sistema de ecuaciones se escribe en términos de variables adimensionales, generalmente se reduce el número de parámetros. Si se aplica dicha similitud, muchas situaciones con diferentes valores de las variables físicas se pueden reducir a un caso con los mismos valores de las variables y parámetros adimensionales. Esto disminuye en gran medida el número de casos a estudiar, ya sea por métodos matemáticos, numéricos o numéricos.

Un ejemplo bien conocido es el de la mecánica de fluidos, donde el número de Reynolds adimensional caracteriza el flujo, para un rango completo de tamaños y velocidades físicas.

No. No se trata de ser tonto.

El análisis dimensional se usa principalmente para verificar si una ecuación es dimensionalmente correcta. Una ecuación contiene muchos términos, relacionados con operadores matemáticos. Las dimensiones de todos los términos en una ecuación deben ser idénticas. Es decir que la dimensión de LHS debería ser la misma que la de RHS.

Esto se conoce como el principio de homogeneidad de dimensiones . Si las dimensiones de todos los términos no son las mismas, entonces la ecuación debe estar equivocada.

El análisis dimensional rara vez se utiliza para derivar una ecuación, ya que no se puede encontrar el valor de las constantes adimensionales.

Uno puede hacer una cantidad extraordinaria de cosas con análisis de cantidad, de los cuales el análisis dimensional es parte. Realmente, es solo un álgebra abierta.

Recuerde primero, que cuando multiplica algo como P = Fv (potencia = fuerza * velocidad), donde la fuerza es esfuerzo de tracción, simplemente está ingresando números en una calculadora. Entonces, si las unidades son Watts = Newtons * metros / segundo, entonces solo puede conectar los números.

Por ejemplo, existe el análisis unitario de Wallot y de Stroud. Lo que esto significa es que puedes tratar las unidades mismas como variables algebraicas. Supongamos que es el mundo real, y la Potencia está en caballos de fuerza, la Fuerza está en toneladas y la velocidad está en mph. No puedes pegar estos números en la ecuación. En cambio, lo haces

P = F v es decir
1 lb ft / s = 1 lb * 1 ft / s
1 lb = tonelada / 2000, 1 pie = milla / 5280 1 seg = hora / 3600. 1 pie lb / s = 1/550 hp.

Entonces obtienes 1/550 hp = 1/2000 ton * 3600/5280 mph

Reúnes los números y obtienes 1 hp = 550 * 3600/2000/5280 ton * mph, da HP = 3/16 TON MPH. Entonces, si su tren está haciendo 1500 HP y 500 toneladas, obtendrá 1500 = 3/16 * 500 * mph, es decir, 16 mph.

Lo segundo que puede hacer es verificar las fórmulas y crear relaciones, como esta.

Suponga que tiene un péndulo, con tiempo, masa y longitud. Sabes que la gravedad está involucrada, entonces, ¿cuál es la relación? La gravedad es L / T ^ 2, el período es T, la longitud en L y la masa en M. Desea 1 = G ^ a L ^ b T ^ c M ^ d, da

L ^ a + b T ^ (- 2a + c) M ^ d = 1. Entonces descubres que gT ^ 2 / L es la relación deseada, y T ~ sqrt (L / g). No puedes ver el 2pi aquí.

Lo más extraordinario, utilizo el análisis dimensional para reescribir ecuaciones cgs en SI, y viceversa. A diferencia de los ejemplos anteriores, solo está mirando una dimensión, (S) que rara vez aparece más de dos veces en cualquier término. La idea es que una S no coincidente se complete con un 4pi si va a SI, y 1 / 4pi va a la inversa.

Debido a que S rara vez ocurre en potencias, uno puede ‘marcar’ cantidades donde ocurre S, y algunos casos ‘cruzar’ aquellas en donde la potencia es menos 1. La racionalización luego va agregando un tic 4pi para ir a SI y 4pi-cross yendo hacia el otro lado.

Se utiliza la “regla de la sustancia”. Todo lo que debe marcarse se da explícitamente en la ecuación.

Entonces, por ejemplo, los campos, flujos, cantidades en L y T, potenciales, nunca se marcan. Tampoco lo es la permitividad o la permeabilidad.

Las cantidades en ML ^ aT ^ b (como densidad, presión, energía, potencia, fuerza, masa, acción), cantidades con nombres a cargo, dipolo, polarización, corriente, capacitancia, susceptancia) se marcan siempre.

Las resistencias e inductancias están marcadas en cruz.

Entonces, por ejemplo, tomamos la forma CGS de F = Q ^ 2 / R ^ 2. Esto da, cuando insertamos S, FS = Q²S² / R², y para equilibrar las S’s necesitamos dividir las rhs por 4pi S, da FS = Q²S² / 4piS. R ^ 2, y los valores S se tachan, para dar F = Q ^ 2 / 4pi R ^ 2. En lugar de escribir S, simplemente marca la cantidad en cuestión.

El análisis dimensional es útil para derivar fórmulas para convertir de un sistema de medición a otro. Los voltios son una medida del potencial eléctrico, los amperios de corriente y la resistencia como la impedancia real valorada para el flujo de corriente. (La impedancia compleja es más interesante, relacionada con
capacitancia e inductancia, dos dimensiones diferentes). La relación
dado por E = IR es importante, ya que relacionó las tres medidas,
y es fundamental para la ingeniería eléctrica. De mucho más interés para mí son los casos en que el análisis dimensional revela la existencia de constantes adimensionales. Estos incluyen la constante de estructura fina, las raciones de las masas en reposo de cualquier partícula fundamental, la constante de acoplamiento para la fuerza fuerte, la constante de acoplamiento gravitacional y la constante cosmológica. El modelo estándar de la electrodinámica cuántica y la física de partículas requiere 25 constantes adimensionales fundamentales, a lo que se agrega la constante cosmológica, que forma 26. Por qué estas constantes deberían existir es un gran enigma, de interés para cualquiera que estudie el análisis dimensional.

Preguntas sobre el punto del análisis dimensional …
Bueno, el análisis dimensional es algo que usa todos los días sin siquiera darse cuenta, pero generalmente muy simplificado.

Por ejemplo, si le pregunto cuántos centavos hay en $ 1.52, se preguntará: “¿Cuántos centavos hay en un dólar?” Hay 100 centavos en un dólar, por lo que debe multiplicar [matemática] {1.52 dólares} * \ frac {100 centavos} {1 dólar} [/ matemática]

Eso es análisis dimensional. El objetivo es expresar alguna unidad en términos de otras unidades que pueden ser más útiles para lo que sea que esté haciendo.

Para hacer posible el análisis dimensional, debe identificar tres cosas:
1. ¿Con qué unidades empiezo?
2. ¿Con qué unidades necesito terminar?
3. ¿Qué conversiones intermedias tengo que hacer?

Comencemos con un ejemplo simple, convirtiendo 300 millas por hora en pies por segundo.

1. Comenzamos con millas divididas por horas.
2. Terminamos con los pies divididos por segundos.
3. Tenemos que convertir millas a pies y horas a minutos a segundos (o solo horas directamente a segundos)
[matemáticas] \ frac {300 millas} {1 hora} * \ frac {5280 pies} {1 milla} * \ frac {60 minutos} {1 hora} * \ frac {60 segundos} {1 minuto} = 440 \ frac {pies} {segundo} [ /matemáticas]

Esto funciona porque las unidades se cancelan cuando se expresan en fracciones al igual que los números, porque las unidades son solo números con una etiqueta.

El análisis dimensional significa el análisis de las dimensiones de las cantidades físicas. El análisis dimensional reduce el número de variables en un fenómeno fluido al mezclar algunas variables para formar parámetros que no tienen dimensiones.

Todos los fenómenos físicos se expresan en términos de un conjunto de dimensiones elementales o fundamentales. En mecánica de fluidos, la masa (m), la longitud (L) y el tiempo (T) o la fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T) se consideran cantidades fundamentales. Estos dos sistemas se denominan sistema MLT y sistema FLT. Estos sistemas de dimensiones están algo relacionados con la segunda ley de movimiento de Newton, es decir, Fuerza = masa x aceleración o

Lea más en: http://crbtech.in/CAD-CAM-Traini …

Tal vez lo he respondido aquí

Primera bomba atómica y análisis dimensional

Pero el análisis dimensional puede darle una visión física sobre el problema sin resolver realmente (o incluso conocer) las ecuaciones. Aquí hay un cómic que hice sobre este tema:

Básicamente ayuda a asegurarte de que estás equiparando cosas equivalentes. También puede ayudarlo a crear análogos de sistemas cuando conoce las dimensiones de las entradas y salidas. Por ejemplo, si la energía se puede representar mediante una masa que se mueve en un campo gravitacional o una carga que se mueve en un campo eléctrico, esto puede ayudar en el diseño de un equivalente eléctrico de un sistema mecánico y viceversa.

Una aplicación bastante práctica es verificar las fórmulas de ingeniería y física propuestas en cuanto a si en realidad son completas y correctas. Si las dimensiones no coinciden correctamente a cada lado del signo igual (si las dimensiones “chirrían”, como le gustaba decir al físico JH Van Vleck a sus alumnos), entonces sabrá de inmediato que la ecuación está de alguna manera incompleta o De lo contrario es incorrecto.