¿Qué sucede en [matemáticas] G \ frac {M_ {1} M_ {2}} {r ^ 2} [/ matemáticas] si [matemáticas] r [/ matemáticas] es 0? Si se tocan masas de 2 puntos, ¿no debería ser una ecuación sobre 0, lo que significa que la fuerza de gravedad sería absoluta, por lo tanto, las cosas que se tocan nunca se separarán?

No hay masas puntuales verdaderas en la naturaleza; Como sabemos por la mecánica cuántica, la naturaleza es fundamentalmente “borrosa”. Si disparas dos partículas elementales entre sí, incluso si fueran partículas hipotéticas que no interactúan a través de las interacciones electromagnéticas y débiles, no serían masas de dos puntos en el mismo lugar. Porque un haz de partículas tiene inherentemente un grado de certeza en su dirección y, por lo tanto, su momento transversal, lo que implica un grado de incertidumbre en su posición transversal. Cuando los haces chocan, no se puede decir que dos partículas están tocando masas puntuales. En cambio, sus funciones de onda se superponen y si desea utilizar una fórmula como [math] H = GM_1 M_2 / r [/ math], teóricamente tiene que integrarse sobre todos los posibles pares de posiciones para las dos partículas. La probabilidad real de que estén en el mismo lugar es cero, porque es infinitamente improbable que dos partículas puntuales choquen perfectamente de frente (tendrían que tener un momento angular total exactamente cero). Entonces, el hecho de que [matemática] 1 / r [/ matemática] diverja no es un problema.

Por lo tanto, el hecho de que las masas puntuales (o cargas puntuales, en electrodinámica) creen problemas matemáticos no causa problemas físicos, ya que la mecánica cuántica nos rescata al untar las partículas para que nunca sean puntos de volumen cero.

Además, a escalas cuánticas, de todos modos no se puede usar la teoría clásica de la gravitación; la fórmula newtoniana simplemente no es válida en principio. (La relatividad general cuenta como clásica, ya que no es cuántica). Debería usar una teoría cuántica de la gravitación. Lamentablemente, aún no existe tal teoría que haya sido aceptada.

Todos los demás han hablado de singularidades, permítanme presentar una opinión diferente sobre esta pregunta.

La r en la ecuación es la distancia entre el centro de masas, no la distancia entre la superficie, por lo que incluso si se tocaran, habría cierta distancia que los separara.

¿Y qué pasa si un cuerpo hace un túnel hacia el otro? Por ejemplo, nosotros como humanos podemos hacer un túnel hacia la Tierra, entonces el valor de r se reduce, pero ¿aumenta la fuerza gravitacional? No, de hecho disminuye, debido al teorema de Shell de Newton.

Enlace a la página de Wikipedia sobre el teorema de Shell –

Teorema de Shell – Wikipedia

A medida que una persona recorre cierta distancia ‘x’ hacia la Tierra, considere la capa de espesor ‘x’. El tirón gravitacional debido a la parte del caparazón sobre la persona equilibra el tirón gravitacional debido a la parte del caparazón debajo de la persona, como se ve en la imagen a continuación.

A medida que hacemos un túnel a distancia x hacia la Tierra, la parte azul de la imagen a continuación representa la capa de espesor x.

Esta capa de espesor x puede descuidarse, y puede considerarse que la Tierra se comporta como una esfera de radio más pequeña (Rx), siendo R su radio original. La masa de la Tierra M1 cae correspondientemente, reduciendo GM1M2 / R ^ 2.

Como el radio de la Tierra se reduce, la masa correspondiente caerá.

Si suponemos que la Tierra es una esfera perfecta con densidad unifrom [matemática] \ rho, [/ matemática] entonces tenemos la Masa de la Tierra M1 dada por –

M1 = [matemática] \ rho [/ matemática] * volumen

M1 = [matemática] \ rho [/ matemática] * (4/3) * [matemática] \ pi [/ matemática] * r [matemática] ^ 3 [/ matemática]

Usando esto en la expresión de fuerza de atracción, obtenemos:

F = [matemáticas] G * \ frac {\ rho * (4/3) * \ pi * r ^ 3 * M_2} ​​{r ^ 2} [/ matemáticas]

F = [matemáticas] G * \ rho * (4/3) * \ pi * r * M_2 [/ matemáticas]

De esto vemos que la fuerza de atracción es proporcional a r.

Entonces, como r tiende a 0, la masa también tiende a 0, de modo que en el centro de la Tierra no experimentarías ningún tirón gravitacional. Esto está ignorando el hecho sobre las singularidades y cómo realmente se llega al radio 0.

Cuando dices que dos masas macroscópicas se tocan, en realidad nunca se tocan. La fuerza electromagnética domina a nivel atómico, lo que generalmente hace que dos átomos se repelen entre sí.

Si baja a un nivel aún más bajo, nuevamente las “cosas” nunca pueden “tocarse” entre sí. El principio de exclusión de Pauli restringe que las partículas subatómicas se acerquen demasiado. Además, a ese nivel, ninguna de las partículas subatómicas tiene una ubicación fija. Tienden a extenderse sobre el espacio porque se representan mediante ondas de probabilidad. También a esas distancias, las fuerzas nucleares (también la fuerza electromagnética) dominan sobre la fuerza gravitacional, que en realidad es la más débil de todas las fuerzas. Las fuerzas nucleares son mucho más fuertes y actúan de tal manera que evitan que dos partículas subatómicas se acerquen demasiado entre sí.

Creo que algunas de las otras respuestas aquí están mirando esto desde el ángulo equivocado.

Algunas personas afirman que esto es imposible porque r no puede ser igual a 0. No es por eso que es imposible. Claro, matemáticamente hablando, no puedes dividir por cero, porque las matemáticas comienzan a descomponerse. Sin embargo, el universo no se rige por axiomas definidos por el ser humano, sino que simplemente nunca exhibirá una situación en la que r pueda ser cero.

Si r = 0, la distancia entre 2 objetos de masa es cero. Esto significaría que las 2 masas están infinitamente cercanas entre sí y tienen masa cero *. Si tienen masa cero, no pueden tener ningún tipo de efecto gravitatorio entre sí, por lo que no tiene sentido usar la ecuación de Newton para describir la gravedad entre objetos sin masa.

Para cosas como los electrones que tienen masa pero se consideran singularidades, estoy bastante seguro de que en realidad no pueden ocupar el mismo punto en el espacio, sino que sus funciones de onda se superponen en esa área. La idea de “tocar” es muy desordenada a escalas tan pequeñas.

* Hay cosas como los fotones que tradicionalmente no se describen como que tienen masa, pero tienen masa relativista, pero Einstein demostró que este hecho no puede usarse junto con la ecuación de Newton, y se basa en la relatividad especial para explicar.

Básicamente has descrito una “singularidad” newtoniana. Un físico diría que las matemáticas “se descomponen” en este punto. Sin embargo, algunas advertencias: la ecuación que citó solo es cierta para los objetos con simetría esférica que no se superponen ni se contienen entre sí en ningún grado. Por lo tanto, estamos hablando necesariamente de “masas de puntos” aquí: objetos sin tamaño. La distancia cero y el tamaño cero son dos cosas que posiblemente no existan en el mundo real, de todos modos, incluso si la mecánica cuántica no asumió el control en tamaños pequeños, y hace que la idea de objetos sólidos sea menos significativa.

No podemos tener R = 0 porque –

1. Las matemáticas no permiten la división por cero y no tendría sentido.
2. Es nuestra noción habitual que cuando los objetos se tocan, la separación entre ellos es cero. No lo es, porque R se mide a lo largo del centro de las partículas que no sería cero. Surgirán complicaciones para calcular la fuerza cuando trabajemos con cuerpos rígidos y extendidos, pero incluso entonces la ‘R’ no sería cero.
3. Incluso las partículas subatómicas tienen dimensiones finitas (aunque muy pequeñas). Así que creo que es bastante práctico no considerar R como cero cuando se trata de calcular la fuerza entre ellos.
4. Para cuerpos uniformes, la distancia se mide desde el centro (teorema de concha de Sir Issac Newton). La Tierra es una aproximación bastante buena de este tipo. Y cuando calculamos la fuerza entre un humano y la tierra, tomamos R = 6400 km, aunque el humano está en la superficie de la tierra y técnicamente lo toca.

Espero que esto ayude.

Bueno … al contrario de otras respuestas, argumentaré que esto no solo es posible, sino que sucede todo el tiempo, aquí mismo en la tierra, y no tiene nada de malo, o incluso confuso 🙂

Considera una maleta. Pesa, digamos, 1 kg y digamos un metro de ancho.

Considere una computadora portátil. Pesa, digamos, 1 kg y es digamos medio metro de ancho.

Si coloca la computadora portátil junto a la maleta, están separadas por la mitad de sus respectivos tamaños, por lo que medio metro más un cuarto de metro: 0,75 m.

F = G (1 kg * 1 kg) /0.75^2. No hay problema. Sucede todos los días.

Pero … ¿y si metemos la computadora portátil dentro de la maleta ? ¡1!?! Interrobang11eleventyone !!

Bueno, entonces sus centros de masa podrían estar en el mismo lugar. El resultado final será:

F = G (1 kg * 1 kg) /0.00.

Acabamos de dividir por cero. Creamos una singularidad. El planeta simplemente aspiró. Todos mueren.

Bien ok. Claramente eso no sucedió.

También arrojemos por la ventana del hotel los falsos argumentos “sí, pero las matemáticas se descomponen en cero, por lo que deja de tener sentido”. Digamos que en lugar de tener los centros de masa exactamente en el mismo punto, lo hacemos a una distancia muy pequeña pero apenas medible .

F = G (1kg * 1kg) / (1 * 10 ^ -lotes) ^ 2.

Sabemos que G es 6.674 * 10 ^ -11, que llamaremos 1 * 10 ^ -12 para facilitar las matemáticas.

Sabemos que 1 * 1 = 1.

Entonces, cuando la distancia está a 10 ^ -6 m de distancia, r ^ 2 es 10 ^ -12. Entonces F debería ser 1N.

Dicho de otra manera, si sacudimos algo dentro de una caja densa, esa cosa eventualmente debería flotar en el medio de la caja.

Esto no pasa. El gato de Schrodinger ha sufrido muchas indignidades, pero la levitación no fue una de ellas.

Considere las dos mitades de la maleta. Cada uno tiene un centro de masa separado. Las fuerzas de estos dos centros de masa, cuando estás en el centro de masa de todo el sistema, se contrarrestan exactamente entre sí, por lo que hay una fuerza gravitacional cero.

Waaait La misma maleta, pero si la considera como dos partes en lugar de una, ¿el resultado es diferente? ¡Debe haber algo mal con nuestro modelo!

Y esa, creo, es la respuesta bastante aburrida aquí. Todo esto es solo un modelo de realidad. Es una simplificación No es una descripción de un proceso real.

Una aproximación más cercana sería ejecutar esa ecuación para cada partícula masiva de cada átomo de la maleta, individualmente, contra cada átomo de la computadora portátil. Todavía sería solo una aproximación, y existen ecuaciones relativistas para las partículas de movimiento más rápido que harían una aproximación más cercana.

Esto tiene una interpretación clásica simple.

Hay dos puntos de masa de [matemática] M_1 [/ matemática] y [matemática] M_2 [/ matemática] que se superponen exactamente, lo que significa que ocupan el mismo punto de volumen cero. Esto hace que las masas de puntos no se puedan distinguir y da como resultado una nueva masa de puntos de [math] M = M_1 + M_2 [/ math].

La fuerza se ejecuta hasta el infinito cuando [math] r \ rightarrow 0 [/ math] pero todo lo que dice es que una vez que tienes la nueva masa puntual no puedes desenredarla, ya que cualquier gradiente solo mueve la masa compuesta.

Por supuesto, esto no representa ningún contexto físicamente válido, pero la pregunta implica que GR y QM no son descripciones válidas como lo sugiere el uso de la gravedad newtoniana.

Si los cuerpos en cuestión tienen una extensión espacial (en lugar de ser masas puntuales teóricas), la fuerza gravitacional entre ellos se calcula sumando las contribuciones de las masas puntuales nocionales que constituyen los cuerpos. En el límite, a medida que las masas de los puntos componentes se vuelven “infinitamente pequeñas”, esto implica integrar la fuerza (en forma de vector, ver más abajo) sobre la extensión de los dos cuerpos.

De esta manera, se puede demostrar que un objeto con una distribución esférica simétrica de masa ejerce la misma atracción gravitacional en cuerpos externos como si toda la masa del objeto estuviera concentrada en un punto en su centro.

(Esto no es generalmente cierto para cuerpos no simétricos esféricos).

Para los puntos * dentro * de una distribución esférica simétrica de la materia, el teorema de Shell de Newton se puede usar para encontrar la fuerza gravitacional. El teorema nos dice cómo las diferentes partes de la distribución de masa afectan la fuerza gravitacional medida en un punto ubicado a una distancia ** r **

desde el centro de la distribución masiva:

La porción de la masa que se encuentra en radios r <** r ** 0 causa la misma fuerza en ** r ** 0 como si toda la masa encerrada dentro de una esfera de radio ** r ** 0 se concentrara en el centro de la distribución de masa (como se señaló anteriormente).

* La porción de la masa que se encuentra en radios r> ** r ** 0 ejerce * no neto * fuerza gravitacional a la distancia ** r ** 0 desde el centro. Es decir, las fuerzas gravitacionales individuales ejercidas por los elementos de la esfera, en el punto en ** r ** 0, se cancelan mutuamente.

Como consecuencia, por ejemplo, dentro de un caparazón de espesor y densidad uniformes no hay * ninguna * aceleración gravitacional neta en ningún lugar dentro de la esfera hueca.

Además, dentro de una esfera uniforme, la gravedad aumenta linealmente con la distancia desde el centro; El aumento debido a la masa adicional es 1.5 veces la disminución debido a la mayor distancia desde el centro. Por lo tanto, si un cuerpo esféricamente simétrico tiene un núcleo uniforme y un manto uniforme con una densidad inferior a 2/3 de la del núcleo, entonces la gravedad inicialmente disminuye hacia el exterior más allá del límite, y si la esfera es lo suficientemente grande, más hacia afuera, la gravedad aumenta nuevamente, y eventualmente excede la gravedad en el límite del núcleo / manto. La gravedad de la Tierra puede ser más alta en el límite del núcleo / manto.

Ley de Newton de la gravitación universal – Wikipedia

Lógicamente, si r es cero, la Masa 1 y la Masa 2 no tienen una distancia entre la ecuación que no estaba destinada para tal, y que los centros de los objetos se tocan … una muy buena coincidencia para un objeto = M que M1 y M2.

Dividir por cero : dividir matemáticamente por cero crea problemas. Sus detalles: “Si dos masas de puntos se tocan, ¿no debería ser una ecuación sobre cero, lo que significa que la fuerza de la gravedad sería absoluta y, por lo tanto, las cosas que se tocan nunca se separarán?”

Es más que solo tocar, ya que la gravedad se mide / equipara desde el centro de una esfera / masa, el centro de gravedad:

Distancia cero: si no hay r o r = cero y los dos se separaron al contraerse en una masa singular, como:

LIGO registra la fusión de agujeros negros , los dos simplemente se están contrayendo / fusionando en una sola masa.

¿Gravedad absoluta? – La gravedad es absoluta es un tramo:

como podría ingresar esa declaración a la supernova que arroja parte de su energía / masa, por lo que ‘nunca se separará’ no es definitivo … y considere la singularidad del Big Bang o la llamarada de un agujero negro:

Tenemos agujeros negros que están expulsando materia / masa / energía que dispara gravedad absoluta en el pie.

Gravedad: Dicho esto, dada la contracción o unión masiva inocuo, es necesario que haya alguna ‘fuerza’, generalmente una explosión dentro de la misma que cause la separación del bloqueo gravitacional en la materia / masa adjunta … desafiar la gravedad.

douG

ToE Gravity & Light paper # 5

Normalmente, las masas M1 y M2 están asociadas con objetos de densidades y volúmenes finitos. Suponga que los objetos son esféricos, con radios R1, R2 respectivamente y densidad D. Las masas serán 4/3 * D * pi * R1 ^ 3, 4/3 * D * pi * R2 ^ 3.

Con r> R1 + R2, se cumple la fórmula anterior.

Con r

Los objetos pequeños y masivos, como los agujeros negros, mostrarían enormes fuerzas a pequeñas distancias (sin superposición). Sin embargo, para distancias muy pequeñas, puede ser necesario considerar los efectos complejos de la “gravedad cuántica”. Personalmente, no estoy familiarizado con eso. Quizás otro respondedor podría iluminarnos.

Muchos han mencionado en sus respuestas que “r” no puede ser cero. Quiero mostrar un caso donde “r” puede ser cero.

Hace poco hice una pregunta: ” Si se deja caer una pelota a través de un agujero hecho en la tierra para abrirse en el lado diametralmente opuesto, ¿cuánto tiempo le tomará regresar?”, Para lo cual obtuve la respuesta correcta de que la pelota acelerará a través del centro de la tierra, cruzará hasta el extremo diagonalmente opuesto y volverá a la posición inicial después de un cierto intervalo de tiempo. Además ejecutará oscilaciones, que pueden desaparecer gradualmente.

En el instante en que la pelota pasa por el centro de la tierra, ¡obviamente “r” es cero!

Aquí hay múltiples suposiciones que te hacen tropezar y te permiten llegar a una contradicción matemática (es decir, división por cero).

1. Masas puntuales que ocupan el mismo espacio. No hay partículas con masa que puedan ocupar el mismo espacio al mismo tiempo.
2. No hay otras fuerzas involucradas. Para la mayoría de las partículas con masa, además de las estadísticas cuánticas involucradas, habría otras fuerzas involucradas. Por ejemplo, los electrones a menudo se tratan como partículas puntuales, pero forzar los dos juntos daría como resultado fuerzas de repulsión electromagnética mucho mayores que cualquier atracción gravitacional.

También vale la pena señalar que la fórmula que usó solo es precisa cuando r es mayor que los radios o [matemáticas] M_ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] M_ {2} [/ matemáticas]. Usando una esfera perfecta homogénea, el potencial gravitacional ejercido por la esfera se vuelve lineal con la distancia desde el centro cuando la distancia desde el centro r es menor que el radio de la esfera R.

Intuitivamente, la materia en el caparazón entre el radio r y R está ejerciendo un tirón sobre un objeto dentro del caparazón desde todas las direcciones. Seguir las matemáticas para esto da como resultado una suma total de cero para esos vectores de fuerza. En el centro, esto es más fácil de visualizar, toda la materia está fuera de r y tira en todas las direcciones por igual, por lo que el potencial gravitacional es cero.

Todo esto habla desde una perspectiva clásica, no relativista.

Cuando la distancia entre dos cuerpos se aproxima a cero, la intuición nos dice que la fuerza gravitacional entre ellos también se acerca al infinito. El problema con esta hipótesis es que la fuerza eléctrica no permite que la distancia radial entre dos cuerpos o partículas caiga por debajo de cierta cantidad. También me gustaría agregar que esta ecuación representa distancias relativas a los centros esféricos de diferentes cuerpos. Por lo tanto, para que este escenario tenga sentido, los cuerpos deben tener dimensiones cero, lo que significa que estamos hablando de partículas puntuales sin carga, que en realidad no existen. Por lo tanto, los objetos nunca pueden tener una distancia cero. Los agujeros negros, por otro lado, no pueden describirse con una expresión newtoniana. De hecho, los agujeros negros representan una fuerza gravitacional infinita, pero esto se debe a las propiedades geométricas del espacio y no a las distancias radiales con otro objeto.

Cuando dos masas se tocan, sus centros de masa no se tocan a menos que ya sean singularidades puntuales (masas puntuales con densidad de masa infinita). Por lo tanto, [math] r [/ math] (que sería la distancia entre sus centros, no sus superficies) no es 0. Y, en cualquier caso, para objetos extendidos que están lo suficientemente cerca el uno del otro como para que sus formas ya no puedan ser ignorado (es decir, ya no se pueden tratar con precisión como un punto), la fórmula simple [matemática] F = GM_1M_2 / r ^ 2 [/ matemática] ya no es apropiada; en cambio, uno tiene que resolver la ecuación de Poisson para la gravedad, [math] \ nabla ^ 2 \ phi = 4 \ pi G \ rho [/ math]. (Que, para el caso especial de una masa puntual, de hecho produce [math] \ phi = -GM / r [/ math], el potencial gravitacional de una fuente puntual que conduce a la fuerza [math] F [/ math ] encima.)

En pocas palabras, cuanto más cerca están M-1 y M-2 entre sí ( r ) , más fuerte se vuelve la fuerza gravitacional ( Fg ) , cuando los respectivos centros de masa de M-1 y M-2 se acercan mucho entre sí, Fg cohetes celestes y cuando r = 0 …

Fg = Infinito

Entonces, técnicamente, si r = 0 , la Física se pone POOOF … porque si Fg = Infinito , entonces la aceleración ( a ) también sería Infinita. Y dado que r = 0 , M-1 y M-2 deben estar respectivamente a una distancia CERO de los centros de masa de los demás, lo que, a su vez, crea una singularidad en el espacio.

Esa singularidad sería un pequeño punto en el espacio donde la densidad es infinita, la fuerza gravitacional (Fg) también es infinita, suficiente para que las luces queden atrapadas al pasar.

Sí, lo has adivinado, creará esto:

Un agujero negro

Y sí, pase lo que pase dentro del agujero negro, permanece en el agujero negro. Si arrojo un ladrillo de lego a través del Horizonte del evento, caerá profundamente en él y luego se fusionará en uno con la singularidad en el centro, y nunca más escapará.

La “masa puntual” es un objeto matemático abstracto; no hay “masas puntuales”, incluso las partículas más pequeñas tienen cierto tamaño.

Pero tratemos con eso: si considera 2 puntos con distancia cero, en realidad solo tiene UN punto (intente probar esto: la mitad de las matemáticas está demostrando teoremas tan obvios). Otra conclusión: el punto único no puede dividirse 😀

En el espacio con el sistema de coordenadas cartesianas, probablemente sepa que no hay puntos que realmente “se toquen”, entre dos puntos diferentes siempre hay infinidad de otros puntos. En el espacio real, incluso dos átomos de hidrógeno en partículas de H2 o átomos de carbono en cristal de diamante están muy lejos uno del otro.

Buena pregunta.

Dado que r representa la distancia entre los centros de masa de dos objetos, ¿pueden existir dos objetos con centros de masa en el mismo punto? Por supuesto que pueden, ya que dos esferas huecas anidadas satisfarían este requisito.

Aparentemente, otros que respondieron a esta pregunta nunca han tenido un conjunto de muñecas rusas Kachina, o sabrían que una singularidad gravitacional newtoniana hace que las muñecas internas desaparezcan.

Olvidemos las matemáticas por un segundo:

Para [matemática] r = 0 [/ matemática], ambas masas [matemática] M_1 [/ matemática] y [matemática] M_2 [/ matemática] deben tener un volumen cero, es decir, ser puntos adimensionales. Entonces ambos serían agujeros negros y aún tendrían horizontes de eventos.

Si una masa [matemática] m [/ matemática] entra en una masa [matemática] M [/ matemática] entonces r podría ir a cero, pero esto no significa que la fuerza aumente, ver por ejemplo:
Fuerza de gravedad dentro de una carcasa esférica

O:

Ejemplo de agujero a través de la tierra