No, la función Zeta de Riemann se define para todos [math] s \ in \ C. [Sin embargo, solo es convergente para [math] Re ([/ math] [math] s)> 1. [/ math ] De hecho, converge absolutamente [matemáticas] \ forall Re (s)> 1 [/ matemáticas]!
Como a los matemáticos no les gustan tales restricciones y creen una definición general, han encontrado una continuación analítica para la función zeta de Riemann. Es decir, han definido la función de manera diferente [matemática] \ forall Re (s) <1 [/ matemática] de tal manera que no solo converge en este intervalo, sino que es infinitamente diferenciable o más precisamente analítico.
Entonces, en general, la función zeta se define de la siguiente manera:
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[matemática] \ zeta (s) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ {s}} [/ matemática] [matemática] \ forall Re (s)> 1 [/matemáticas]
[matemáticas] \ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} sin (\ frac {\ pi \ cdot {s}} {2}) \ Gamma (1-s) \ zeta (1 -s) [/ math] [math] \ forall Re (s) <1, [/ math] donde [math] \ Gamma [/ math] representa la función Gamma.
[matemáticas] (\ Gamma (n) = \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} t ^ {n-1} e ^ {- t} dt) [/ matemáticas]
Por lo tanto, puede calcular los valores de la función zeta para [math] Re ([/ math] [math] s) 1. [/ matemáticas]
