Suponga que [math] S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {-1 ^ nn} {(2n + 1)!} [/ Math]
[matemáticas] 2S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {-1 ^ n2n} {(2n + 1)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {-1 ^ n (2n + 1)} {(2n + 1)!} – \ frac {-1 ^ n} {(2n + 1)!} \ Right) [/ math]
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Usando la serie Taylor de [math] sin (x) [/ math] y [math] cos (x) [/ math] tenemos
[matemáticas] sin (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {-1 ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] cos (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {-1 ^ nx ^ {2n}} {(2n)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2S = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {-1 ^ n} {(2n)!} – \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {-1 ^ n} {(2n + 1)!} [/ matemáticas]
las secuencias dadas anteriormente son coseno y seno de [matemáticas] 1 rad [/ matemáticas] respectivamente
[matemáticas] 2S = ((cos1 – 1) – (sin1 – 1)) [/ matemáticas]
[matemáticas] 2S = cos1 – sen1 [/ matemáticas]
[matemáticas] S = \ frac {cos1 – sin1} {2} = -0.150584 [/ matemáticas]
Verificado por la calculadora de la serie Infinite de wolfram (solo ingrese ((-1) ^ n) n / (2n + 1) en el campo “suma de”)
