Lógicamente, los dos principios son equivalentes. Cada uno es más conveniente en ciertas situaciones.
Principio de inducción [simple]:
Deje que [math] S [/ math] sea un subconjunto de los números naturales. Asumir que
- [matemáticas] 0 \ en S [/ matemáticas], y
- para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math], si [math] n \ in S [/ math] entonces [math] n + 1 \ in S [/ math].
Entonces [math] S [/ math] contiene cada número natural.
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Principio de “Inducción completa”:
Deje que [math] S [/ math] sea un subconjunto de los números naturales. Suponga que, para todos [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math], siempre que [math] k \ in S [/ math] para todos [math] k <n [/ math], luego [math] n \ en S [/ math] también.
Entonces [math] S [/ math] contiene cada número natural.
Entonces es obvio que la Inducción completa implica la forma simple. Por lo contrario, todo lo que tiene que hacer es asumir la condición y muestran que [matemáticas] 0 \ en S [/ matemáticas]. Para hacer eso, busque “implicación vacía”.
