Realmente la suma es solo una notación.
Si dejamos que [math] n ^ {*} [/ math] sea el número uno más alto que n, y [math] n ‘[/ math] el número uno debajo de n
Podemos definir la suma recursivamente por
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- [matemáticas] n + 0 = 0 + n = n [/ matemáticas]
- [matemáticas] n + k = n ^ {*} + k ‘[/ matemáticas] [matemáticas] k> 0 [/ matemáticas]
Entonces, para que 2 + 2 = 5 sea verdadero, debe haber ocurrido una (o más) de dos cosas:
- Simplemente hemos reetiquetado los enteros para que vayan 1,2,3,5 … (obviamente, los pedidos más complicados también pueden funcionar). En este caso, nada cambiaría, excepto que cada vez que escribimos 4, ahora escribimos 5, etc. Realmente todo lo que sucedió es que los nombres de los números han cambiado.
- Los enteros no se modifican, pero hemos alterado nuestra definición de suma. La forma más común y natural de cambiar la suma es la aritmética modular. En el caso decimos que x mod k es el resto cuando x se divide por k. Si tuviéramos 2 + 2 = 5 mod k, entonces 0 = 1 mod k y por lo tanto k = 1, entonces realmente no pasaría nada muy interesante. Sin embargo, podemos describir escenarios no solo sensatos, sino interesantes, en los que digamos 2 + 2 = 0 o 2 * 2 = 1 al exigir que nuestra adición se realice en el módulo k, como se indicó anteriormente.
Si quisieras insistir en que ni los enteros ni nuestra definición han cambiado, entonces (como podría decir Bertrand Russell) significaría que soy el Papa.
Para ver esto, suponga 2 + 2 = 5.
Entonces [matemáticas] 5 = 2 + 2 = 3 + 1 = 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 ^ {*} = 4 + 1 [/ matemáticas]
Entonces 4 + 1 = 4, por lo tanto 0 = 1.
Así 2 = 1 + 1 = 1 + 0 = 1.
Entonces, si S es el conjunto que contiene solo a mí y al papa, S tiene 2 elementos, por lo tanto, como 2 = 1 tiene un elemento. Por eso debo ser el papa.