Estoy un poco confundido acerca de la parte “muy similar” de la pregunta. Como usted dice, un espacio vectorial se define como un conjunto con operaciones de suma y multiplicación escalar que satisfacen varios axiomas, y un espacio topológico se define como un conjunto con una clase distinguida de subconjuntos llamados conjuntos abiertos que satisfacen varios axiomas. Aparte de la parte de “satisfacer varios axiomas” que es compartida por casi cualquier estructura matemática, no veo la similitud aquí.
No veo ninguna manera en que estos dos conceptos estén significativamente “relacionados”. Hay objetos importantes llamados espacios vectoriales topológicos que llevan ambas estructuras y satisfacen axiomas de continuidad adicionales, pero no creo que esto sea lo que quiere decir con “relacionado”.
Los espacios vectoriales son aparentemente similares a los módulos, por ejemplo. Las definiciones de estas dos estructuras son muy similares, excepto que para los módulos los escalares pertenecen a un anillo en lugar de a un campo. Estoy de acuerdo en que los espacios y módulos vectoriales están “relacionados”, aunque resulta que el cambio de estructura de los escalares hace una gran diferencia, y los módulos son bestias muy diferentes de los espacios vectoriales.
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De manera similar, la definición de un espacio topológico es superficialmente similar a la definición de un álgebra [matemática] \ sigma [/ matemática]. Los conjuntos abiertos en un espacio topológico están cerrados bajo uniones e intersecciones finitas; los conjuntos de un álgebra [matemática] \ sigma [/ matemática] están cerrados bajo uniones contables, intersecciones contables y complementos. Esto parece algo similar pero, una vez más, estos cambios “menores” en los axiomas provocan diferencias bastante grandes en los resultados.
