¿Se puede decir algo sobre los conjuntos de niveles de un polinomio, en función de cuáles son sus ceros? ¿Hay alguna relación entre ellos?

Asumiré que se nos da un polinomio de la forma [matemáticas] P (X) = X ^ n + a_ {n-1} X ^ {n – 1} + \ ldots + a_0 [/ matemáticas]. ¿Por qué? Bueno, principalmente porque si conocemos las raíces [matemáticas] \ alpha_i [/ ​​matemáticas] de dicho polinomio, entonces podemos reconstruir el polinomio, será simplemente [matemáticas] (X – \ alpha_1) (X – \ alpha_2) \ ldots (X – \ alpha_n) [/ math]. Como tal, conocer las raíces es más o menos equivalente a conocer el polinomio.

Por lo tanto, es posible que desee estudiar la función [matemáticas] (\ alpha_1, \ ldots, \ alpha_n, c) \ mapsto z [/ math], donde [math] (z – \ alpha_1) \ ldots (z – \ alpha_n) = c [/ math] (bueno, estrictamente hablando, esto no es una función, porque genéricamente hay [math] n [/ math] diferentes opciones de [math] z [/ math], más sobre eso más adelante, pero nosotros puede hacer pequeñas alteraciones para que eso suceda). ¿Qué puede decir al respecto?

Bueno, ciertamente, puede obtener aproximaciones de esta función. Es decir, si me das las raíces [math] \ alpha_1, \ ldots, \ alpha_n [/ math] y un valor [math] c [/ math] que estás interesado en tu logro polinómico, entonces puedo darte el lugares donde [matemáticas] P (x) = c [/ matemáticas] con una precisión arbitrariamente buena (podría, por ejemplo, utilizar el método de Newton para hacer esto).

¿Podemos obtener esta función exactamente? Con esto, quiero decir, ¿podemos expresar esta función en términos de, por ejemplo, sumas, productos y radicales? Bueno, esto es definitivamente posible para polinomios cuadráticos:

[matemáticas] (x – \ alpha_1) (x – \ alpha_2) = x ^ 2 – (\ alpha_1 + \ alpha_2) x + \ alpha_1 \ alpha_2 = c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x ^ 2 – (\ alpha_1 + \ alpha_2) x + \ alpha_1 \ alpha_2 – c = 0 [/ matemáticas],

para que podamos aplicar la fórmula cuadrática:

[matemáticas] x = \ frac {\ alpha_1 + \ alpha_2 \ pm \ sqrt {(\ alpha_1 + \ alpha_2) ^ 2 – 4 (\ alpha_1 \ alpha_2 – c)}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto x = \ frac {\ alpha_1 + \ alpha_2 \ pm \ sqrt {(\ alpha_1 – \ alpha_2) ^ 2 + 4c}} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, para una ecuación cuadrática, sabemos que la función se ve como

[matemáticas] (\ alpha_1, \ ldots, \ alpha_n, c) \ mapsto \ frac {\ alpha_1 + \ alpha_2 \ pm \ sqrt {(\ alpha_1 – \ alpha_2) ^ 2 + 4c}} {2} [/ math] .

No está mal. ¿Podemos hacer esto para cualquier polinomio? Lamentablemente, la respuesta es no; en general, la función que hemos especificado no se puede escribir como una composición de sumas, productos y radicales.

Aquí hay un ejemplo muy concreto: let [math] \ alpha_1 = 1, \ alpha_2 = 2, \ alpha_3 = 3, \ alpha_4 = 4, \ alpha_5 = 5 [/ math]. El polinomio que defina de esa manera es [matemática] P (X) = X ^ 5 – 15 X ^ 4 + 85X ^ 3 – 225 X ^ 2 + 274 X – 120 [/ matemática].

Quizás le interese saber qué valores [matemática] P (z) = -2 [/ matemática]. Sin embargo, esto es lo mismo que preguntar cuáles son los ceros de [matemáticas] X ^ 5 – 15 X ^ 4 + 85X ^ 3 – 225 X ^ 2 + 274 X – 118 [/ matemáticas], y aplicando alguna teoría de Galois, puedes demostrar que esos ceros no se pueden escribir en términos de radicales.

(Para aquellos con cierta comprensión de la teoría de Galois: el polinomio que construí es irreducible, y tiene exactamente 2 ceros no reales. Entonces es un teorema estándar que su grupo de Galois es [matemática] S_n [/ matemática], donde [ matemática] n [/ matemática] es el grado del polinomio. Sin embargo, dado que [matemática] S_5 [/ matemática] no tiene solución, eso prueba mi afirmación).

Si permite más que solo sumas, productos y radicales, entonces podría ser mejor. Se sabe que puede usar funciones hipergeométricas para expresar la función deseada para cualquier polinomio quíntico (y creo que sextico), pero más allá del grado 7, los resultados de este tipo son pocos o inexistentes.

No todo está necesariamente perdido. Es posible que no pueda decir exactamente cuáles son los niveles establecidos, pero puede probar muchos datos sobre ellos.

Por ejemplo, para casi todas las opciones de [matemática] c [/ matemática], [matemática] P (z) = c [/ matemática] consiste en [matemática] n [/ matemática] puntos distintos en el plano complejo (donde [matemática] ] n [/ math] es el grado del polinomio). De hecho, podemos determinar exactamente para qué valores de [matemática] c [/ matemática] habrá menos de [matemática] n [/ matemática] soluciones distintas, eso será siempre que [matemática] c = P (x_0) [/ matemáticas], donde [matemáticas] P ‘(x_0) = 0 [/ matemáticas].

Incluso podemos decir algo sobre en qué circunstancias la solución establecida [matemática] P (z) = c [/ matemática] se ubicará en la línea real; para un polinomio de grado par, habrá 2 soluciones reales o 0 soluciones reales fuera de cierto intervalo. Para un polinomio de grado impar, solo habrá 1 solución real fuera de cierto intervalo.

¿Cuál es ese intervalo? Es [matemática] P (x_1) \ leq x \ leq P (x_2) [/ matemática], donde [matemática] x_1, x_2 [/ matemática] se eligen de manera que [matemática] P ‘(x_i) = 0 [/ matemática], [matemática] P (x_1) [/ matemática] es el valor más pequeño, y [matemática] P (x_2) [/ matemática] es el valor más grande.

La respuesta de Mark Gritter es bastante buena. Deberías considerar el mío como una adición a la suya. Iré un paso más allá. Cuando ha afirmado que la respuesta es “no realmente”, estoy afirmando que la respuesta es “en absoluto”.

Más precisamente, para un polinomio [matemática] f [/ matemática], los valores de [matemática] x [/ matemática] tal que [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] (es decir, las raíces de [matemática] f [/ math]) no nos dice nada sobre los valores de [math] x [/ math] de modo que [math] f (x) = b [/ math] para un valor arbitrario de [math] b [/ math] (this también se conoce como la preimagen de [matemáticas] b [/ matemáticas] en [matemáticas] f [/ matemáticas], por cierto).

Aquí hay una explicación de por qué esto es cierto:

Veamos primero un pequeño subconjunto de polinomios. Digamos que tenemos un polinomio misterioso (lo llamaremos [math] p [/ math]) y sabemos que tiene la forma [math] ax [/ math] para algunos [math] a \ neq 0 [/ math ] Claramente, [math] x = 0 [/ math] es la raíz de [math] p [/ math].

Ahora digamos que queremos saber los valores de [math] x [/ math] de modo que [math] p (x) = b [/ math]. Pero sin conocer el valor de [math] a [/ math], esta “raíz distinta de cero” como la ha descrito, ¡podría ser literalmente cualquier cosa! Podría ser, digamos [math] \ pi [/ math] si [math] a [/ math] resulta ser [math] \ frac {b} {\ pi} [/ math].

Claramente, no sabemos absolutamente nada acerca de las “raíces distintas de cero” de [matemáticas] p [/ matemáticas] a pesar de saberlo todo acerca de las raíces de [matemáticas] p [/ matemáticas]. Si no podemos descubrir nada acerca de lo que estamos sacando de la pequeña bolsa (es decir, polinomios de la forma [math] ax [/ math]), posiblemente no podemos saber nada sobre lo que estamos sacando de la bolsa grande (es decir, todos los polinomios).

Para una familia de funciones, para poder decir que conocer las raíces de una función implica algo sobre la preimagen de un valor bajo esa función, tendrá que elegir una familia de funciones que sea menor que ” todos los polinomios “. Para empezar, uno que no incluya todos los polinomios de la forma [math] ax [/ math] 🙂

Editar: Como una ocurrencia tardía, encontré un error en mi argumentación. Sabemos algo sobre la preimagen de [matemáticas] b [/ matemáticas] bajo [matemáticas] p [/ matemáticas] en nuestro ejemplo anterior: su cardinalidad es una. Por supuesto, no aprendemos esto al examinar las raíces de [math] p [/ math] y, en el caso general, esto no se cumple.

Una pequeña adición al conjunto actual de respuestas es que para todos los polinomios, el conjunto completo de raíces determina los polinomios hasta el término principal. Entonces, si conocemos un solo coeficiente, digamos el término constante, entonces podemos calcular los polinomios y luego las raíces del nuevo formado al agregar una constante.