Las fórmulas de Vieta relacionan las raíces de un polinomio con los coeficientes de ese polinomio.
Si tiene el polinomio [matemática] P (x) [/ matemática] tal que [matemática] P (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dots + a_1x + a_0 [/ math], y las raíces de este polinomio son [math] r_1, r_2, \ dots, r_n [/ math]. Esto significa que podemos escribir el polinomio como [math] P (x) = a_n (x-r_1) (x-r_2) \ dots (x-r_n) [/ math], entonces
[matemáticas] a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dots + a_1x + a_0 = a_n (x-r_1) (x-r_2) \ dots (x-r_n) [/ math] .
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Si expandimos el lado derecho de esta ecuación, obtenemos
[matemáticas] a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dots + a_1x + a_0 = a_nx ^ n – a_n (r_1 + r_2 + \ dots + r_n) x ^ {n-1} + a_n (r_1r_2 + r_1r_3 + \ dots + r_ {n-1} r_n) x ^ {n-2} + \ dots + (-1) ^ na_n (r_1r_2 \ dots {r_n}) [/ math]
Tenga en cuenta que para el coeficiente de [math] x ^ k [/ math], está sumando todos los productos posibles de las raíces [math] nk [/ math], que se denomina [math] k [/ math] -th suma simétrica elemental de las raíces.
La única forma de que nuestras dos expresiones para [math] P (x) [/ math] sean iguales es si cada uno de sus coeficientes correspondientes para un [math] x ^ k [/ math]. Por lo tanto, debemos tener eso:
[matemáticas] \ dfrac {a_n} {a_n} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] – \ dfrac {a_ {n-1}} {a_n} = r_1 + r_2 + \ dots + r_n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {a_ {n-2} {a_n}} = r_1r_2 + r_1r_3 + \ dots r_ {n-1} r_n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
[matemáticas] (- 1) ^ n \ dfrac {a_0} {a_n} = r_1r_2 \ dots {r_n} [/ matemáticas]
Estas son las fórmulas de Vieta.
Al principio pueden ser un poco difíciles de digerir, así que echemos un vistazo a un pequeño ejemplo, el de un cuadrático.
Un cuadrático es un polinomio con grado 2, y toma la forma de [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]. Si esta cuadrática tiene raíces de [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática], entonces podemos decir que [matemática] ax ^ 2 + bx + c = a (xp) (xq) [/ matemática ] Si expandimos el lado derecho, obtenemos que [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = ax ^ 2 – a (p + q) x + apq [/ matemáticas]. Esto significa que [matemática] b = -a (p + q) [/ matemática] y [matemática] c = apq [/ matemática], entonces [matemática] – [/ matemática] [matemática] \ dfrac {b} {a } = p + q [/ math] y [math] \ dfrac {c} {a} = pq [/ math], que se alinea con la forma generalizada de antes.
Como ejercicio para el lector, trate de encontrar las relaciones que provienen de los cúbicos: [matemáticas] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ matemáticas].
Las fórmulas de Vieta pueden ser un arma poderosa en matemáticas. Úsalos bien.
