¿Es posible inducir una topología desde una distancia no métrica?

“Una distancia no métrica” ​​no tiene sentido. Puede querer decir:

1. ¿Es posible inducir una topología a partir de una topología no metrizable? (Una topología “no metrizable” es una topología que no puede provenir de una métrica. Más técnicamente, un espacio topológico no metrizable es uno que no es homeomorfo a ningún espacio métrico).
1. Respuesta: sí. Hace esto de la misma manera que induce cualquier topología. Dado un espacio topológico no metrizable [matemática] (X, T) [/ matemática] y un subconjunto [matemática] Y \ subconjunto X [/ matemática], defina una topología en [matemática] Y [/ matemática] en la que un subconjunto [matemática] U \ subconjunto Y [/ matemática] está abierta en [matemática] Y [/ matemática] si [matemática] U = O \ cap Y [/ matemática] para algún subconjunto abierto [matemática] O [/ matemática] de [ matemáticas] X [/ matemáticas].
2. ¿Es posible inducir una topología desde algo cercano a una métrica, pero no del todo? Por ejemplo, los físicos a veces consideran métricas “degeneradas”, que son métricas normales excepto que [matemática] d (x, y) = 0 [/ matemática] no implica [matemática] x = y [/ matemática]. En el análisis funcional, uno a menudo tiene una (o una familia) de semi-normas, que es una norma, excepto que [matemáticas] \ phi (x) = 0 [/ matemáticas] no implica [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas ]
1. Si. La topología se puede describir de muchas maneras, pero quizás la más fácil es decir que es la topología más gruesa de manera que las métricas / métricas / seminormes / seminormas son continuas.