Dado un polinomio [matemático] P [/ matemático] en el plano complejo, gracias al teorema fundamental del álgebra podemos representarlo como
[matemáticas] P (z) = a (z-z_1) \ puntos (z-z_k) [/ matemáticas]
o alternativamente
[matemáticas] P (z) = b \ prod _ {\ ell = 1} ^ k \ left (1- \ frac {z} {z_k} \ right) [/ math]
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donde [math] z_1, \ dots, z_k [/ math] son las raíces (contadas con multiplicidad) del polinomio P, y [math] a, b [/ math] son constantes distintas de cero. Intuitivamente, esto nos dice cómo las raíces determinan un polinomio.
El teorema de factorización de Weierstrass es una declaración similar sobre funciones holomórficas en un dominio [math] D \ subset \ mathbb {C}. [/ Math] Dicha función no necesita tener muchos ceros, aunque el conjunto de ceros sigue siendo discreto. Suponiendo que [math] f [/ math] es holomorfo en [math] D [/ math] y tiene [math] \ {z_j \} _ {j = 1} ^ \ infty [/ math] como su conjunto de ceros ( contado con multiplicidad), entonces tenemos una representación como producto convergente infinito
[matemáticas] f (z) = \ prod_ {j = 1} ^ \ infty \ exp (g (z)) \ left (1- \ frac {z} {z_j} \ right) [/ math]
donde [math] g_j [/ math] es una cierta función holomórfica en [math] D. [/ math]
Del mismo modo que la factorización en monomios proporciona información estructural sobre los polinomios, el WFT proporciona información estructural sobre funciones holomórficas en dominios y tiene importantes consecuencias.
Cabe señalar que el análogo de la WFT no se cumple en general. El problema de la construcción de una función holomórfica con ceros dados en varias variables se llama el segundo problema de Cousin, y solo se puede resolver si desaparecen ciertos grupos de homología del dominio. Sin embargo, en una variable, esta condición topológica es nula, y siempre se tiene una representación infinita del producto de funciones holomórficas.
