¿Cuál es el operador de Laplace en términos de “laico”?

Tiendo a pensar en el laplaciano como la ‘curvatura’ de una función (análoga a la segunda derivada en el cálculo 1-D). A menudo toma valores extremos cerca de máximos / mínimos aislados de la función, y valores cero donde una piel ‘tambor’ estirada podría tomar la forma de la función. (Una piel de tambor estirada tiene Laplacian de cero: un hecho más fácil de entender con la interpretación de los promedios que usted menciona).
Como la divergencia del gradiente: si interpreta el gradiente como la forma en que una canica comenzaría a rodar en una función bajo la gravedad, la divergencia del gradiente mostraría áreas donde las canicas comenzarían a converger o divergir: los ‘valles’ y ‘colinas’ del función.
Por supuesto, esto es más fácil de imaginar para funciones de 1 o 2 variables. En dimensiones más altas … ¡tal vez el promedio de tu vecino es la analogía más fácil!