¿Cuáles son algunas ramas, teoremas o definiciones de las matemáticas que la teoría de categorías simplifica enormemente?

Algunos de mis favoritos:

  • El teorema de Caley es un caso extremadamente especial del lema de Yoneda.
  • Los límites y los colimits capturan con elegancia gran parte de las construcciones en diversos campos de las matemáticas, incluidos productos, sumas, retrocesos (de álgebra lineal y geometría diferencial), subobjetos, cocientes, “pegado” de espacios topológicos, clasificación de mapas, grupos de homotopía, cohomología. objetos, espacios discretos y codiscretos, y mucho más.
  • La teoría del esquema de Grothendieck resume muy bien la geometría algebraica más clásica.
  • La teoría de las especies de Joyal es un enfoque novedoso de la combinatoria.
  • Los módulos y las álgebras disfrutan de descripciones muy elegantes a través de la noción de una categoría tangente, y la izquierda adjunta al functor de proyección involucrado asigna objetos monoides a sus módulos naturales de diferenciales de Kähler.
  • Las equivalencias contravariantes formalizan el concepto de dualidad que es tan frecuente en casi todas las matemáticas.

Esto es sólo la punta del iceberg; ¡Un aperitivo para alentarlo a aprender más!

En términos de ramas, diría Geometría Algebraica y también Topología Algebraica. No hay duda de que estas son las áreas donde la teoría de la categoría ha sido de gran valor, y donde una buena base en CT es esencial para el progreso. Por supuesto, en áreas no matemáticas, me gustaría llamar la atención sobre el hecho de que CT ayuda a una gran cantidad de ciencias de la computación.

Creo que Jake Chateau dio algunos buenos ejemplos de algunas áreas de definición / teóricas donde la CT ayuda.