¿Cuáles son las aplicaciones del análisis real y complejo?

Lamento mucho que tenga que estudiar con un profesor que no ha podido explicarle ni la belleza matemática del análisis ni sus aplicaciones significativas a la ciencia.

De hecho, si hay una rama de las matemáticas que está más íntimamente relacionada con las aplicaciones, es el análisis matemático, que abarca subdisciplinas como análisis real, análisis complejo, análisis de Fourier o armónico, etc.

De hecho, toda la disciplina surgió con el desarrollo del cálculo en el siglo XVII. La nueva noción de función y las operaciones de diferenciación e integración revolucionaron la física y otras ramas de la ciencia. Las definiciones y teoremas a los que hace referencia se desarrollaron para justificar lógicamente estas operaciones.

La aplicación más importante del análisis a la ciencia aparece en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y las ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Estas son ecuaciones con funciones desconocidas que satisfacen ciertas relaciones entre derivadas. Por ejemplo, el movimiento de un planeta alrededor del sol se rige por una EDO (segunda ley de Newton). La forma de una cuerda de guitarra vibrante puede expresarse como la solución de una PDE (ecuación de onda) como lo puede ser la velocidad de un fluido en cada punto (ecuación de Navier-Stokes). En un nivel más profundo, las leyes fundamentales de la física se expresan mejor como PDE: electricidad y magnetismo (ecuaciones de Maxwell), gravedad (ecuaciones de campo de Einstein), partículas subatómicas (ecuaciones de Schroedinger y Dirac). La solución de estas ecuaciones necesita herramientas del análisis de Fourier (series de Fourier e integrales y sus aplicaciones) y análisis complejos (por ejemplo, la capacidad o la capacidad de retención de carga de los condensadores se pueden encontrar a menudo utilizando el mapeo conforme). Algunas veces estas ecuaciones no pueden resolverse explícitamente, entonces uno puede usar las técnicas de análisis numérico para obtener aproximaciones a las soluciones.

Esto no agota las aplicaciones importantes de análisis en el mundo real. Permítanme llamar la atención sobre otros cuatro ejemplos elegidos al azar.

(1) El estudio de los mercados de valores se basa en la teoría de la probabilidad y, en particular, en la teoría de los procesos aleatorios. La comprensión de esta teoría necesitará estar completamente familiarizado con la “teoría de la medida”, una rama del análisis real que se basa en las definiciones secas que está estudiando ahora.

(2) El estudio matemático del clima depende de la teoría de los sistemas dinámicos, una teoría que se basa en la teoría elemental de las EDO estudiadas en el cálculo.

(3) El almacenamiento electrónico y la transmisión de datos se basan en gran medida en el análisis de Fourier. Por ejemplo, el formato de imagen JPEG se basa en el cálculo de ciertas transformadas de Fourier.

(4) El estudio de la complejidad de los algoritmos utiliza el análisis complejo para obtener estimaciones asintóticas para diversas funciones de los enteros. Esto ahora se conoce como “combinatoria analítica”.

Espero que estos ejemplos lo convenzan de la naturaleza práctica del análisis.

Aplicaciones? Bueno, todo lo que uno hace en cálculo se basa en un análisis real. El cálculo [al menos, cálculo diferencial y cálculo integral de Riemann] se basa completamente en los dos teoremas fundamentales. Cuando uno descubre sumas infinitas y evalúa los límites, está haciendo un análisis real. El análisis complejo es esencialmente una extensión del análisis real en el conjunto [math] \ mathbf {R} ^ {2} [/ math] con alguna estructura agregada, es decir, la suma y multiplicación de números complejos. Y eso no es todo.

El análisis real (o complejo), como su nombre lo indica, es el análisis de las propiedades, de conjuntos como números reales y complejos. Lo que hace que tales conjuntos sean especiales es que están completos, lo que esencialmente significa que uno puede dar una definición significativa de los límites y trabajar con los límites. Las nociones de cálculo desarrolladas por Newton, Liebnitz et al solo se pondrían en una posición formal adecuada a la luz del trabajo realizado por los primeros formalistas del análisis real, es decir, Cauchy et al. Esta fue la primera vez que comenzó una “axiomatización” adecuada de las matemáticas, en el sentido que conocemos hoy. Antes de eso, las personas realmente no tenían una base rigurosa de conceptos matemáticos como sumas y límites infinitos, y confiaban en la intuición para sobrevivir.

El OP habla de definiciones tediosas. Tal vez un profesor seco pueda absorber rápidamente el vigor, pero en realidad las definiciones son el quid de la asignatura. Lo que uno debería estar haciendo, si está interesado en las ‘matemáticas puras’, es analizar estas definiciones para ver qué las motiva, por qué se enmarcan de esta manera, cuáles son sus implicaciones, cómo motivan a las personas más ‘avanzadas’ o ‘generalizadas’. ‘estructuras matemáticas (como los espacios topológicos) y cómo cambiaría la estructura si se modificara la definición. Un matemático, aunque influenciado, no está obligado a molestarse por las “aplicaciones” que el campo proporciona a las ciencias matemáticas aliadas.

Las pruebas de los teoremas son definitivamente instructivas. Si bien se espera que una persona con experiencia se sienta cómoda con las pruebas de ‘epsilon delta’ en la cabeza, no todas son fáciles. El análisis real, especialmente cuando se ofrece como un curso de pregrado, suele ser la primera exposición adecuada del estudiante a pruebas rigurosas; lo que pasa por “matemáticas” en las escuelas es el mero cálculo y la aplicación de conceptos intuitivos. Si bien puede ser discordante al principio, definitivamente puede ser una experiencia muy agradable que da forma al pensamiento mental de uno para siempre.

El análisis real y el análisis complejo son dos temas diferentes que no están estrechamente relacionados.

El análisis real formaliza y generaliza muchas de las nociones que vería en una secuencia de cálculo estándar. Algunas de las aplicaciones más directas del análisis real serían:

  • Probabilidad de medida teórica. Para muchas aplicaciones serias de probabilidad, la antigua definición de probabilidad de “resultados positivos / resultados totales” no es suficiente. La teoría de la medida nos permite formalizar la probabilidad de una manera realmente útil para problemas fundamentalmente continuos. Esto tiene importantes aplicaciones en mecánica estadística, finanzas cuantitativas y varios campos de la ingeniería, y otras aplicaciones en matemáticas puras y aplicadas.
  • Análisis armónico. La transformación de Fourier parece simple en una primera introducción, pero conduce a todo tipo de problemas de convergencia cuando comienzas a usarla. No sé mucho sobre el tema, pero entiendo que realmente necesita la teoría madura aquí para las aplicaciones de procesamiento de señales, imágenes médicas y compresión de wavelets.
  • Análisis numérico. Calcular cosas con una computadora no es tan simple como podría parecer. El hecho de que una serie converja a una respuesta deseada no significa necesariamente que sumar los primeros cien términos de la serie le dará una aproximación decente a la mitad de ese número, y eso ni siquiera tiene en cuenta los efectos del redondeo al final de cada cálculo, que es algo que una computadora esencialmente tiene que hacer: después de todo, no puede almacenar todos los números con los que está trabajando en infinitos decimales.

El análisis real, al menos a nivel elemental, también es un requisito previo para muchas otras áreas de matemática pura, cada una de las cuales tiene sus propias aplicaciones. Estos incluirían ecuaciones diferenciales parciales , análisis funcional , análisis geométrico y análisis complejo .

El análisis complejo , por otro lado, tiende a ser un campo mucho menos “analítico”. El análisis real está lleno de patologías extrañas que realmente no sobreviven en el caso complejo, y como tal el campo es mucho más topológico / geométrico. Por ejemplo, muchos resultados en el análisis complejo elemental también pueden verse como resultados en geometría algebraica, sin hacer referencia alguna al análisis. Las aplicaciones directas de análisis complejo incluyen:

  • Integración de contornos . Muchas áreas de matemáticas y ciencias generan rutinariamente integrales que no pueden resolverse mediante el tipo de métodos que se enseñan en los cursos de cálculo. Sin embargo, en el análisis complejo, podemos reemplazar los intervalos en la línea real con curvas en el plano complejo, y el margen de maniobra adicional nos permite determinar todo tipo de integrales con las que no tendríamos muchas posibilidades de trabajar de otra manera.
  • Análisis de Fourier . Mencioné las aplicaciones fundamentales del análisis real al análisis de Fourier anteriormente, pero el análisis complejo es útil de una manera diferente aquí. Las aplicaciones del mundo real son como las anteriores.

El análisis complejo también tiene muchas aplicaciones directamente a las matemáticas, especialmente en la teoría de números donde, por ejemplo, la hipótesis de Riemann es probablemente la pregunta abierta más importante (potencialmente atacable).