Lamento mucho que tenga que estudiar con un profesor que no ha podido explicarle ni la belleza matemática del análisis ni sus aplicaciones significativas a la ciencia.
De hecho, si hay una rama de las matemáticas que está más íntimamente relacionada con las aplicaciones, es el análisis matemático, que abarca subdisciplinas como análisis real, análisis complejo, análisis de Fourier o armónico, etc.
De hecho, toda la disciplina surgió con el desarrollo del cálculo en el siglo XVII. La nueva noción de función y las operaciones de diferenciación e integración revolucionaron la física y otras ramas de la ciencia. Las definiciones y teoremas a los que hace referencia se desarrollaron para justificar lógicamente estas operaciones.
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La aplicación más importante del análisis a la ciencia aparece en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y las ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Estas son ecuaciones con funciones desconocidas que satisfacen ciertas relaciones entre derivadas. Por ejemplo, el movimiento de un planeta alrededor del sol se rige por una EDO (segunda ley de Newton). La forma de una cuerda de guitarra vibrante puede expresarse como la solución de una PDE (ecuación de onda) como lo puede ser la velocidad de un fluido en cada punto (ecuación de Navier-Stokes). En un nivel más profundo, las leyes fundamentales de la física se expresan mejor como PDE: electricidad y magnetismo (ecuaciones de Maxwell), gravedad (ecuaciones de campo de Einstein), partículas subatómicas (ecuaciones de Schroedinger y Dirac). La solución de estas ecuaciones necesita herramientas del análisis de Fourier (series de Fourier e integrales y sus aplicaciones) y análisis complejos (por ejemplo, la capacidad o la capacidad de retención de carga de los condensadores se pueden encontrar a menudo utilizando el mapeo conforme). Algunas veces estas ecuaciones no pueden resolverse explícitamente, entonces uno puede usar las técnicas de análisis numérico para obtener aproximaciones a las soluciones.
Esto no agota las aplicaciones importantes de análisis en el mundo real. Permítanme llamar la atención sobre otros cuatro ejemplos elegidos al azar.
(1) El estudio de los mercados de valores se basa en la teoría de la probabilidad y, en particular, en la teoría de los procesos aleatorios. La comprensión de esta teoría necesitará estar completamente familiarizado con la “teoría de la medida”, una rama del análisis real que se basa en las definiciones secas que está estudiando ahora.
(2) El estudio matemático del clima depende de la teoría de los sistemas dinámicos, una teoría que se basa en la teoría elemental de las EDO estudiadas en el cálculo.
(3) El almacenamiento electrónico y la transmisión de datos se basan en gran medida en el análisis de Fourier. Por ejemplo, el formato de imagen JPEG se basa en el cálculo de ciertas transformadas de Fourier.
(4) El estudio de la complejidad de los algoritmos utiliza el análisis complejo para obtener estimaciones asintóticas para diversas funciones de los enteros. Esto ahora se conoce como “combinatoria analítica”.
Espero que estos ejemplos lo convenzan de la naturaleza práctica del análisis.