Sea [matemática] p (x) = a + (a + d) x + (a + 2d) x ^ 2 + \ ldots + [a + (n-1) d] x ^ {n-1} + [a + nd] x ^ n [/ matemáticas].
Claramente, los coeficientes están en progresión aritmética mientras que [matemática] x [/ matemática] está en progresión geométrica.
Por lo tanto, [matemáticas] x \ cdot p (x) = ax + (a + d) x ^ 2 + (a + 2d) x ^ 3 + \ ldots + [a + (n-1) d] x ^ {n} + [a + nd] x ^ {n + 1} [/ matemáticas]
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Restando [matemática] p (x) [/ matemática] por [matemática] x \ cdot p (x) [/ matemática]:
[matemática] (1-x) \ cdot p (x) = a + dx + dx ^ 2 + \ ldots + dx ^ n – [a + nd] ^ {n + 1} [/ matemática]
[matemáticas] (1-x) p (x) = a + d \ left (\ frac {x ^ {n + 1} -x} {x-1} \ right) – [a + nd] ^ {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] p (x) = \ dfrac {a} {1-x} + d \ left [\ dfrac {xx ^ {n + 1}} {(1-x) ^ 2} \ right] – \ dfrac { [a + nd] ^ {n + 1}} {1-x} [/ math]
Puede aplicar este método a cualquiera de esas series.
