Dadas las 4 unidades normales de superficie para un tetraedro irregular, ¿pueden encontrarse las relaciones de las 4 superficies?

Anders Kaseorg ya respondió a esta pregunta maravillosamente arriba. Solo agregaré una nota rápida sobre su ecuación principal.

Otra forma (más general) de mostrar la afirmación basada en la física de que [math] \ vec {A}: = \ sum a_i \ vec {t_i} [/ math] desaparece es usar el teorema de Stokes (a veces llamado teorema de divergencia en este contexto). La suma de áreas-tiempos-unidad-vectores normales se puede escribir

[matemáticas] \ vec {A} = \ int _ {\ parcial T} \ vec {\ omega} [/ matemáticas]

donde la integral está sobre el límite del tetraedro [matemática] T [/ matemática], y

[math] \ vec {\ omega} = (dy \ wedge dz, dz \ wedge dx, dx \ wedge dy) = d \ vec {x} \ times d \ vec {x} [/ math]

es una forma 2 de valor vectorial [1]. Según el teorema de Stokes, esto es

[matemáticas] \ vec {A} = \ int_T d \ vec {\ omega} = \ int_T \ vec {0} \, d ^ 3 x = \ vec {0} [/ matemáticas].

[1] [math] \ vec {\ omega} [/ math] es esencialmente la única forma doble de valor vectorial rotacionalmente covariante y traslacionalmente invariante que se puede definir en 3d.

Cualitativamente, sí, ya que las cuatro unidades normales se pueden usar para encontrar los planos en los que están las caras. Luego se puede encontrar la intersección de esos planos (tres a la vez) para encontrar los vértices, y luego determinar los vectores de cada lado, y usar la mitad del producto cruzado para encontrar el área que esos vectores definen. Entonces uno puede encontrar la proporción de las áreas.

Sin embargo, puede haber una solución más elegante que esta.