Grandes respuestas ya se han dado! Aquí hay mucha lectura para cualquier persona interesada en la forma constructiva de hacerlo, que es un camino más específico y quizás menos elegante. Tiene su propia belleza, en mi opinión.
Definición de multiplicación en los números naturales, a, b ∈ ℕ:
a ∙ 0 = 0,
a ∙ (b + 1) = a ∙ b + a.
Tenga en cuenta que este es un tipo de definición recursiva. Llevar a cabo la multiplicación se convierte en un proceso de desenrollar la recursividad. Veamos cómo funciona en general y luego proporcione la prueba que estamos buscando.
Esto generalmente se debe hacer usando inducción, pero usemos un método menos riguroso y más laborioso y veamos cómo a a b se desenrolla:
Deje c₁ + 1 = b ⇒ a ∙ b = a ∙ c₁ + a,
Deje c₂ + 1 = c₁⇒ a ∙ c₁ = a ∙ c₂ + a ⇒ a ∙ b = a ∙ c₂ + a + a
… {Tenga en cuenta que cada c_i es uno menos que el anterior c_ (i-1)}
Deje c_n = 0, c_n + 1 = c_m donde c_m es el término anterior ⇒
a ∙ c_m = a ∙ c_n + a,
c_n = 0 ⇒ a ∙ c_n = 0 por definición ⇒
a ∙ c_m = 0 + a = a.
Por lo tanto, finalmente obtenemos a ∙ b = a + a + a + … + a {con b términos en total}.
¡Esto debería parecer muy familiar! a ∙ b parece ser la suma de b instancias de a.
Entonces, aquí está la prueba, confiando en nuestro desenrollado manual anterior:
Dado a = 0: a ∙ b = a + a +… + a = 0 + 0 +… = 0.
Dado b = 0: a ∙ b = 0 por definición.
QED
Pasando a los enteros, definamos la multiplicación en a, b ∈ ℤ:
p, q, r, s ∈ ℕ,
a = (p, q),
b = (r, s).
Si no comprende a qué se refiere (x, y), se puede interpretar como x – y para que (2, 3) = (4, 5) = {muchos otros pares de números} = el entero -1.
Entonces a ∙ b = (p ∙ r + q ∙ s, p ∙ s + q ∙ r) define la multiplicación. Podría ser útil resolver uno de estos, pruebe algo como 2 ∙ -3 = (2, 0) ∙ (1, 4) por ejemplo, y dada la intuición anterior sobre el par de números resultante, vea si tiene sentido !
Dado a = 0 tenemos p = q, también deberíamos probar primero la asociatividad de la suma en los naturales, pero supongo que estoy familiarizado con esta propiedad que dice que x + y = y + x:
a ∙ b =
(p ∙ r + q ∙ s, p ∙ s + q ∙ r) = {p = q}
(p ∙ r + p ∙ s, p ∙ s + p ∙ r) = {asociatividad de suma, confía en mí, es demostrable ^^}
(p ∙ r + p ∙ s, p ∙ r + p ∙ s) = 0. {ya que el número izquierdo = número derecho en el par}
La prueba es muy similar dado b = 0.
QED
Diablos, vamos por los racionales también, esos son aún más fáciles; a, b ∈ ℚ:
p, r ∈ ℤ,
q, s ∈ ℤ \ {0} (todos los enteros excepto 0),
a = (p, q),
b = (r, s).
Aquí, (x, y) puede interpretarse como x dividido por y de modo que (1, 2) = (2, 4) = (3, 6) = (n, 2n) = el número racional ½.
a ∙ b = (p, q) ∙ (r, s) = (p ∙ r, q ∙ s) define la multiplicación. Dada la interpretación intuitiva, esto es lo mismo que (p ∙ r) / (q ∙ s).
Dado a o b = 0 tenemos p or r = 0 y por lo tanto p ∙ r = 0 (de nuestro trabajo anterior) lo que implica a ∙ b = (0, q ∙ s). Este par se puede encontrar en la clase de pares que se ve así: (0, 1) = (0, 2) = (0, 3) = (0, n) = el número racional 0.
QED
Breve nota sobre los reales:
Estos números son un poco difíciles de definir si no conoce las secuencias de Cauchy, pero una vez que se trata de eso, a o b = 0 ⇒ ab = 0 también se sigue directamente en este campo.
También una nota general sobre las cosas cubiertas en esta respuesta:
Hago trampa en varios lugares, ¡no solo con respecto a la asociatividad de la suma! Tome este gran agujero deslumbrante como ejemplo gratia: ¡La adición no está definida! Sin embargo, pensé que tenía que parar en algún lado, y espero que cualquier omisión de mi parte esté bien para completar con intuiciones estándar.
Las partes donde menciono las interpretaciones sobre (x, y) no son rigurosas, sino que simplemente se usan para dar una forma intuitiva de pensar sobre ello. Se utilizan diferentes reglas para (x, y) para identificar de forma exclusiva los números en ℤ y ℚ. Aquí hay una mirada más rigurosa a la idea utilizada para ℚ:
En primer lugar, definamos ℚ en sí mismo. Toda la tarea. ¡Bien, preparémonos para otras 50 páginas de matemáticas!
Aquí va: ℚ es el conjunto de todos los pares (x, y) con x, y ∈ ℤ. Hecho.
“¿De Verdad?”
¡Sip! Aseado, ¿eh? ^^
“¿Pero qué pasa con ½ por ejemplo? ¿Cómo sé que está en ℚ? Ciertamente debería estarlo”.
Sí lo es. Déjame convencerte!
Supongamos que [(x, y)] denota un conjunto completo de pares (x, y) que satisfacen la siguiente relación de equivalencia: (a, b) = (c, d) ⇔ a ∙ d = b ∙ c.
(1, 2) = (2, 4) desde 1 ∙ 4 = 2 ∙ 2, y (2, 4) = (-2, -4) desde 2 ∙ -4 = -2 ∙ 4.
Aquí hay un conjunto completo de pares donde los miembros satisfacen la relación de equivalencia:
[(π₁, π₂)] = {… = (-2, -4) = (-1, -2) = (1, 2) =…} ⇔
[(π₁, π₂)] = {(n, 2n)} para todos los n ∈ ℤ \ {0}.
Entonces esto [(π₁, π₂)] identifica de forma única un número en ℚ, en este punto podemos elegir llamarlo ½. Hasta este punto, ½ no existía; no hasta que definimos la notación utilizada aquí y la aplicamos para identificar un grupo interesante de elementos en ℚ y bautizamos este grupo. Bueno, el grupo ya estaba allí, simplemente no teníamos forma de saber esto sin estas herramientas.
Esta es la razón por la que el enfoque intuitivo descrito anteriormente funciona bien: tenga en cuenta que ad = bc podría interpretarse como a / b = c / d, por lo tanto (a, b) = (c, d) ⇔ ad = bc ⇔ a / b = c / d tiene sentido. Sin embargo, la división ni siquiera está definida en nuestro sistema, por lo que esta interpretación es solo una herramienta para ayudarnos a pensar en todos estos objetos nuevos.
