Digamos que tienes algún experimento que tiene éxito con la probabilidad [matemática] p [/ matemática], como lanzar una moneda sesgada o jugar un juego de azar. Si prueba el experimento [matemáticas] n [/ matemáticas] veces seguidas, ¿cuál es la probabilidad de que tenga éxito exactamente [matemáticas] k [/ matemáticas] veces?
Debe saber o poder determinar que la respuesta es
[matemáticas] \ binom {n} {k} p ^ k (1-p) ^ {nk} [/ matemáticas]
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y este, de hecho, es el polinomio de Bernstein [matemáticas] b_ {n, k} (p) [/ matemáticas]. A veces ayuda psicológicamente cambiar la variable de la [matemática] p [/ matemática] relacionada con la probabilidad a la más común [matemática] x [/ matemática], entonces
[matemáticas] b_ {n, k} (x) = \ binom {n} {k} x ^ k (1-x) ^ {nk} [/ matemáticas]. La misma cosa. Estamos cambiando la perspectiva de probabilidad fija y número de éxitos variable a conteo de éxito fijo y probabilidad variable.
Algunas cosas deben quedar inmediatamente claras de la definición. En primer lugar, este es un polinomio. Además, para [matemática] x [/ matemática] en el rango [matemática] [0,1] [/ matemática], los valores del polinomio no son negativos y no exceden 1 (ya que podemos interpretarlos como probabilidades).
Además, podemos ver intuitivamente cómo se comporta. Para ser concretos, tomemos [matemáticas] n = 100 [/ matemáticas] y [matemáticas] k = 40 [/ matemáticas]. Por lo tanto, estamos pidiendo la probabilidad de obtener exactamente 40 éxitos al intentar 100 veces.
Ahora, está bastante claro que si la probabilidad [matemática] x [/ matemática] es [matemática] x = 0.4 [/ matemática], entonces tener éxito en exactamente el 40% de los intentos debería ser razonablemente probable (de hecho, la probabilidad obtener exactamente 40 éxitos es aproximadamente el 8%, lo que no parece mucho, pero es mucho mejor que con otros valores de [math] x [/ math]).
Si, por otro lado, [matemática] x [/ matemática] está lejos de 0.4, entonces esta probabilidad rápidamente se vuelve ridículamente pequeña. Imagine, por ejemplo, que [matemáticas] x [/ matemáticas] resulta ser [matemáticas] 0.7 [/ matemáticas]. Entonces esperarías 70 éxitos. Obtener 60 parece poco probable pero aún posible, pero obtener 50 es tan inesperado que debería ser extremadamente raro y 40 éxitos es algo que nunca esperarías que suceda. De hecho, la probabilidad de 40 éxitos con una probabilidad de [matemáticas] 0.7 [/ matemáticas] es menos de uno en un billón .
¿Qué significa eso para nuestro polinomio? Significa que dados [matemática] n, k [/ matemática], los valores del polinomio se concentran muy fuertemente alrededor del valor más probable de [matemática] x [/ matemática] que es simplemente [matemática] k / n [/ matemática]. De hecho, aquí hay una gráfica de [math] b_ {100,40} (x) [/ math] en el rango [math] 0 \ leq x \ leq 1 [/ math]:
La forma de la campana se vuelve aún más estrecha a medida que aumentamos el valor de [math] n [/ math]: cuanto mayor es el número de experimentos, es menos probable que el número de éxitos se desvíe significativamente del valor esperado.
El pico del polinomio es, por lo tanto, siempre en [matemáticas] x = k / n [/ matemáticas], con una rápida disminución hacia la izquierda y hacia la derecha. Esta es la utilidad clave de los polinomios de Bernstein: se comportan de manera similar a una “función delta” – una función (ficticia) de masa total 1 que es 0 en todas partes excepto por un pico en un punto específico, en este caso [matemáticas] k / n [/matemáticas]. Los polinomios de Bernstein no tienen masa total 1, pero el área total debajo de la curva (la integral del polinomio de 0 a 1) se determina fácilmente como simplemente [matemática] 1 / (n + 1) [/ matemática], independientemente de [matemáticas] k [/ matemáticas].
Debido a esta propiedad de tipo delta, los polinomios de Bernstein se pueden combinar de forma natural para aproximar cualquier función continua en [matemáticas] [0,1] [/ matemáticas]. Dada tal función [matemática] f [/ matemática], definimos una aproximación [matemática] B_n [f] [/ matemática] como
[matemáticas] B_n [f] (x) = \ sum_ {k = 0} ^ nf (\ frac {k} {n}) b_ {n, k} (x) [/ matemáticas]. Simplemente estamos muestreando la función en los puntos [matemática] 0,1 / n, 2 / n, \ ldots, 1 [/ matemática] y multiplicando cada muestra por el polinomio “espiga” en ese punto. Afortunadamente, el factor de normalización que proviene de la masa total de cada polinomio de Bernstein es exactamente lo que necesitamos, ya que puede verificar si lo intenta con la función constante [matemáticas] f (x) = 1 [/ matemáticas].
Entonces se puede demostrar, con bastante facilidad, que [matemática] B_n (f) [/ matemática] no es muy diferente de [matemática] f [/ matemática] en sí misma, y la diferencia disminuye a 0 cuando [matemática] n [/ matemática ] crece, simultáneamente para todas [matemáticas] x [/ matemáticas]. Por lo tanto, los polinomios de Bernstein proporcionan una prueba explícita del Teorema de aproximación de Weierstrass, que establece que las funciones continuas pueden ser aproximadas de manera uniforme por los polinomios.
