Probemos algunos valores, y luego tal vez podamos “adivinar y verificar”. Digamos que ponemos F (1) = 1, F (2) = 1. Entonces la fórmula nos da
F (3) = 1-1 / 2 = 1/2,
F (4) = 1/2 – 1/3 = 1/6
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F (5) = 1/6 – (1/2) / 4 = 1/6 – 1/8 = 1/24
F (6) = 1/24 – (1/6) / 5 = 1/24 – 1/30 = 1/120
Bueno … esos denominadores parecen familiares, 2, 6, 24, 120, … ¡Apuesto a que el próximo es 6! = 720
F (7) = 1/120 – (1/24) / 6 = 1/120 – 1/144 = 1/720
Bien, ahora tenemos una suposición de que
[matemáticas] F (n) = \ frac {1} {(n-1)!} [/ matemáticas]
Entonces es solo una simple cuestión de probar nuestra suposición por inducción. Tenga en cuenta que se cumple para F (1) y F (2), porque [matemáticas] 0! = 1 [/ matemáticas], y después de eso
[matemáticas] F (n + 2) = F (n + 1) – \ frac {F (n)} {n + 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] F (n + 2) = \ frac {1} {n!} – \ frac {1} {(n-1)! (n + 1)} [/ matemáticas]
[matemáticas] F (n + 2) = \ frac {n + 1} {(n + 1)!} – \ frac {n} {(n + 1)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] F (n + 2) = \ frac {1} {(n + 1)!} [/ matemáticas]
Ahora, por supuesto, puede elegir un par diferente de valores iniciales y obtener una función diferente que podría ser más difícil de describir. Por ejemplo, si F (1) = 1, F (2) = 2, obtenemos
[matemáticas] \ frac {3} {2!}, \ frac {5} {3!}, \ frac {11} {4!}, \ frac {35} {5!}, \ frac {155} {6 !}, …[/matemáticas]
Los numeradores de esta secuencia parecen estar dados por A067078 – OEIS, lo que sugiere que pueden expresarse en forma cerrada con “factoriales izquierdos”. O podemos elegir F (1) = 0, F (2) = 0 y obtener la función de cero constante. Pero F (1) = 1, F (2) = 1 parece la versión más “natural” de esta recurrencia.
